【３】単位四元数と３次元の回転

　実部をｗ，虚部をｖとし，

　　　ｑ1＝ｗ1＋ｘ1ｉ＋ｙ1ｊ＋ｚ1ｋ＝（ｗ1，ｖ1）

　　　ｑ2＝ｗ2＋ｘ2ｉ＋ｙ2ｊ＋ｚ2ｋ＝（ｗ2，ｖ2）

と表すことにすると，

　　ｑ1＋ｑ2＝（ｗ1＋ｗ2，ｖ1＋ｖ2）

　　ｑ1・ｑ2＝（ｗ1ｗ2−（ｖ1・ｖ2），ｗ1ｖ2＋ｗ2ｖ1＋（ｖ1×ｖ2））

と表せる．

　ここでもう一度，３次元空間内の任意の点を位置ベクトルｐで表し，軸ｎの周りにθだけ回転したベクトルをＲpとし，Ｒpをｐ，ｎ，θを用いて表そう．

　　ｎに直交するベクトル：ｑ＝ｐ−（ｐ・ｎ）ｎ

　　ｎとｐの外積：ｒ＝ｎ×ｑ＝ｎ×ｐ

とすると

　　Ｒp ＝ｃｏｓθｑ＋ｓｉｎθｒ＋（ｎ・ｐ）ｎ

　　　　＝ｃｏｓθｐ＋（１−ｃｏｓθ）（ｎ・ｐ）ｎ＋ｓｉｎθ（ｎ×ｐ）

がわかる．

　次に，単位四元数ｑ＝（ｗ，ｖ）＝（ｃｏｓη，ｓｉｎηｎ）を用いた変換

　　Ｒp（ｈ）＝ｑ・ｈ・ｑ~

を考える．ｑ~＝（ｗ，−ｖ）

　ｐを四元数の虚部とみなすと，

　　Ｒp（ｐ）＝ｑ・ｐ・ｑ~＝（ｗ，ｖ）・（０，ｐ）・（ｗ，−ｖ）

　＝（０，（ｗ^2−｜ｖ｜^2）ｐ＋２（ｐ・ｖ）ｖ＋２ｗ（ｖ×ｐ））

　＝ｃｏｓ２ηｐ＋（１−ｃｏｓ２η）（ｎ・ｐ）ｎ＋ｓｉｎ２η（ｎ×ｐ）

　したがって，θ＝２ηとおけば，軸ｎ周りのθ回転は単位四元数

　　ｑ＝（ｃｏｓθ／２，ｓｉｎθ／２ｎ）

で簡単に表せることがわかる．

　四元数は群，環，体などの代数的構造の理論という分野の中で不可欠な役割を担ったのであるが，１８４３年，ハミルトンが発見して以来３次元運動の力学系を記述するために使われてきて，スペースシャトルの制御でも利用されている．また，電磁気学や相対性理論，三次元の非ユークリッド幾何学の法則を記述するのにも応用されているそうだ．

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【４】考察

　　ω＝（１＋ｉ＋ｊ＋ｋ）／２

は，

　　ω^2＝（−１＋ｉ＋ｊ＋ｋ）／２

　　ω^3＝−１

　　ω^4＝−（１＋ｉ＋ｊ＋ｋ）／２

　　ω^5＝（１−ｉ−ｊ−ｋ）／２

　　ω^6＝１

より１の原始６乗根であり，ωは４次元空間内の６０°回転に対応していると考えることができる

　四元数ω＝（１＋ｉ＋ｊ＋ｋ）／２は単位四元数である．一方，軸ｎ周りのθ回転は単位四元数

　　ｑ＝（ｃｏｓθ／２，ｓｉｎθ／２ｎ）

で表せるから

　　θ／２＝π／３，ｎ＝（１／√３，１／√３，１／√３）

すなわち，（１，１，１）方向を軸とする１２０°回転に対応している．

　同様に，

　　ω^2＝（−１＋ｉ＋ｊ＋ｋ）／２

はθ／２＝２π／３，ｎ＝（１／√３，１／√３，１／√３）より（１，１，１）方向を軸とする２４０°回転，

　　ω^4＝−（１＋ｉ＋ｊ＋ｋ）／２

はθ／２＝−π／３，ｎ＝（１／√３，１／√３，１／√３）より（１，１，１）方向を軸とする−１２０°回転，

　　ω^5＝（１−ｉ−ｊ−ｋ）／２

はθ／２＝−π／３，ｎ＝（１／√３，１／√３，１／√３）より（１，１，１）方向を軸とする−１２０°回転．

　　ｑ＝±１

はθ／２＝±π，ｎ＝（０，０，０）より無回転（恒等写像）であるが，

　　ｑ＝±ｉ

はθ／２＝±π／２，ｎ＝（１，０，０）より（１，０，０）方向＝ｘ軸を軸とする±９０°回転に対応している．

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