ベルヌーイはベキ和の公式の列

Σｋ＝ｎ（ｎ＋１）／２

Σｋ^2＝ｎ（ｎ＋１）（２ｎ＋１）／６

Σｋ^3＝ｎ^2（ｎ＋１）^2／４

Σｋ^4＝ｎ（ｎ＋１）（２ｎ＋１）（３ｎ^2＋３ｎ−１）／３０

Σｋ^5＝ｎ^2（ｎ＋１）^2（２ｎ^2＋２ｎ−１）／１２

Σｋ^6＝ｎ（ｎ＋１）（２ｎ＋１）（３ｎ^4＋６ｎ^3−３ｎ＋１）／４２

Σｋ^7＝ｎ^2（ｎ＋１）^2（３ｎ^4＋６ｎ^3−ｎ^2−４ｎ＋２）／２４

を見て，次のようなパターンを発見しました．

　それを一般式の形で書くと，S(s,n)=Σｋ^sは

　　S(s,n)=1/(s+1){B0n^(s+1)+(s+1,1)B1n^s+･･･+(s+1,s)Bsn}

　　=1/(s+1)Σ(K=0-s)(s+1,k)Ｂk(n+1)^(s+1-k)

と，ベルヌーイ数Ｂnを含む式で表すことができます．

　具体的に係数Ｂn を求めてみましょう．有名なベルヌーイ数列｛Ｂn｝の指数型母関数はｘ／（ｅｘｐ(x)−１）で与えられます．すなわち，ベルヌーイ数は

ｘ／（ｅｘｐ(x)−１）

＝Ｂ0/0!＋Ｂ1／１！ｘ＋Ｂ2／２！ｘ^2＋Ｂ3／３！ｘ^3＋・・・

＝ΣＢnｘ^n／ｎ！

で定義される有理数で，係数Ｂnはベルヌーイ数と呼ばれます．容易にわかるように，lim(x→0)ｘ／（ｅｘｐ(x)−１）=1が成立します．

　定義より，ベルヌーイ級数は，べき級数

　　（ｅｘｐ(x)−１）／ｘ＝１＋１／２！ｘ＋１／３！ｘ^2＋１／４！ｘ^3＋・・・

の反転級数と考えることができます．

　　ｅｘｐ(x)＝１＋１／１！ｘ＋１／２！ｘ^2＋・・・

ですから

ｘ／（ｅｘｐ(x)−１）

=x/(x+x^2/2!+x^3/3!+･･･)

=1/(1+x/2!+x^2/3!+･･･)

=1-(1+x/2!+x^2/3!+･･･)+(1+x/2!+x^2/3!+･･･)^2-･･･

=1-1/2x+1/6x^2-1/30x^4+･･･

　これより，Ｂ0=1,Ｂ1 ＝−１／２で

ｘ／（ｅｘｐ(x)−１）−Ｂ1 ／１！ｘ＝ｘ／２・（ｅｘｐ(x)＋１）／（ｅｘｐ(x)−１）

は偶関数ですから，奇数項は第一項以外は０で，偶数項はＢ2＝１／６，Ｂ4＝−１／３０，Ｂ6＝１／４２，Ｂ8＝−１／３０，Ｂ10＝５／６６，Ｂ12＝−６９１／２７３０，Ｂ14＝７／６，Ｂ16＝−３６１７／５１０，Ｂ18＝４３８６７／７９８であとは分子が急速に大きくなり，たとえば，Ｂ32＝−７７０９３２１０４１２１７／５１０，Ｂ34＝２５７７６８７８５８３６７／６です．分母は必ず６で割り切れます．

　ベルヌーイ数については，再帰公式

　　（Ｂ＋１）^n-B＾n=0

が成り立ちます．ただし，２項展開してからB^nをBnで置き換えることにします．ベルヌーイ数は数多くの魅惑的な整数論的特性をもっていて，正則素数の判定にも顔を出す興味深い数となっています．

　また，ベルヌーイ多項式の最初のいくつかは

　　Ｂ0(x)＝１

　　Ｂ1(x)＝ｘ−１／２

　　Ｂ2(x)＝ｘ^2−ｘ＋１／６

　　Ｂ3(x)＝ｘ^3−３ｘ^2／２＋ｘ／２

　　Ｂ4(x)＝ｘ^4−２ｘ^3＋ｘ^2−１／３０

　　Ｂ5(x)＝ｘ^5−５ｘ^4／２＋５ｘ^3／３−ｘ／６

　　Ｂ6(x)＝ｘ^6−３ｘ^5＋５ｘ^4／２＋ｘ^2／２＋１／４２

　　Ｂ7(x)＝ｘ^7−７ｘ^6／２＋７ｘ^5／２＋７ｘ^3／６＋ｘ／６

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