ルジャンドルは６は２つの有理数の３乗和として書けないと主張したが，１９世紀末から２０世紀初頭のイギリスのパズル作家デュドニーはその反例

　　６＝（１７／２１）^3＋（３７／２１）^3

を発見した．

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　　６＝（(a+d)/b）^3＋（(a-d)/b）^3と書けるとする。a＞d＞0,1＜(a+d)/b＜2

　　６b^3＝（a+d）^3＋（a-d）^3＝2a^3+6ad^2

3b^3=a^3+3ad^2=a(a^2+d^2)・・・aは3の倍数

簡単のため、d=10とおく。

3b^3=a(a^2+300)

3(b^3-100a)＝a^3

bは３の倍数→aは９の倍数などと試行錯誤して

a=27,b=21,d=10を発見したのではなかろうか？

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　　　６＝（ｘ＋２）^3＋（ｍｘ−３）^3

と分解されるとして，・・・とやろうとしても、右辺の有理数定数項を決めることができない

a^3-b^3=6

(a-b)(a^2+ab+b^2)=6

a=b+1とすると

(b+1)^2+b(b+1)+b^2=6

3b^2+3b+1=6

3b^2+3b-5=0→無理数となる

a=b+2とすると

(b+2)^2+b(b+2)+b^2=6

3b^2+6b+4=3

3b^2+6b+1=0→無理数となる

そのため，ルジャンドルは６は２つの有理数の３乗和として書けないと主張したのであろう

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もしこれが整数の立方和で表される数、たとえば、１９だとすると

　　　１９＝（ｘ＋３）^3＋（ｍｘ−２）^3

と分解されるとして，ｍに任意の有理数を代入すると解が得られる？

　　１９＝x^3+9x^2+27x+27+m^3x^3-6m^2x^2+12mx-8

　　　　＝x{(m^3+1)x^2+(9-6m^2)x+27+12m}+19

(m^3+1)x^2+(9-6m^2)x+27+12m=0となるように定めると・・・

［１］ｍ＝２→9x^2-15x+51=0→3x^2-5x+17=0→実数解なし

［２］ｍ＝３→28x^2-45x+63=0→→実数解なし

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もしこれが整数の立方和で表される数、たとえば、３５だとすると

　　　３５＝（ｘ＋３）^3＋（ｍｘ+２）^3

と分解されるとして，ｍに任意の有理数を代入すると解が得られる？

　　３５＝x^3+9x^2+27x+27+m^3x^3+6m^2x^2+12mx+8

　　　　＝x{(m^3+1)x^2+(9+6m^2)x+27+12m}+35

(m^3+1)x^2+(9+6m^2)x+27+12m=0となるように定めると・・・

［０］ｍ＝１→2x^2+15x+39=0→実数解なし

［１］ｍ＝２→9x^2+31x+51=0→実数解なし

［２］ｍ＝３→28x^2+63x+63=0→→実数解なし

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