３ナルシシスト数について考えてみよう．

　　１００ａ＋１０ｂ＋ｃ＝ａ^3+ｂ^3+ｃ^3

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　（ａ，ｂ，ｃ）の組み合わせは９００通り．

　ａ＝０，１，２，３，４，５，９，７，８，９に対して

　ａ^3＝０，１，８，２７，６４，１２５，２１６，３４３，８１２，７２９

　１００ａ＋１０ｂ＋ｃ＜１０００

なので，９が２個，８が２個，８と９が１個ずつという組み合わせは外すことができる．

　数字のうちのひとつは０であると仮定すると，その数は上にある立方数の２つの和になる．

　　３^3+７^3+０^3=３７０

　　４^3+０^3+７^3=４０７

　数字のうちのひとつは１であると仮定すると，その数は上にある立方数の２つの和になる．

　　３^3+７^3+１^3=３７１

　０も１も含まないと仮定すると・・・とやるよりも全数探索する方が速いだろう．それによって，３ナルシシスト数は４個

　　１^3+５^3+３^3=１５３

　　３^3+７^3+０^3=３７０

　　３^3+７^3+１^3=３７１

　　４^3+０^3+７^3=４０７

しかないことが確認される．

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ところで

　　１^3+５^3+３^3=１５３

　　１６^3+５０^3+３３^3=１６５０３３

　　１６６^3+５００^3+３３３^3=１６６５００３３３

　　１６６６^3+５０００^3+３３３３^3=１６６５５０００３３３３

では規則性のある３乗和がどこまでも保存されるようです。

（ａ，ｂ，ｃ）において、

ａ＝（10^n-４）/６＝1，16，166，1666，・・・

ｂ＝（10^n）/２＝5,50,500,5000,・・・

ｃ＝（10^n-１）/３＝3，33，333，3333，・・・

ａ^3+ｂ^3+ｃ^3＝１０^2nａ＋１０^nｂ＋ｃ＝ａ^3+ｂ^3+ｃ^3

となり、確かに成り立っています。

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おまけ

153=1!+2!+3!+4!+5!

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　　１^3+５^3+３^3=１５３

に対して

　　１６^3+５０^3+３３^3=１６５０３３

　　１６６^3+５００^3+３３３^3=１６６５００３３３

　　１６６６^3+５０００^3+３３３３^3=１６６５５０００３３３３

のようにどこまでも保存される規則性が見つかったわけですから、

　　３^3+７^3+０^3=３７０

　　３^3+７^3+１^3=３７１

　　４^3+０^3+７^3=４０７

に対しても規則性のある３乗和は見つからないでしょうか？

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　　３^3+７^3+０^3=３７０

a＝3（10^n-１）/9＝3，33，333，3333，・・・

b＝7（10^n-１）/9＝3，33，333，3333，・・・

としてみると

(9a)^3+(9b)^3=(3^3+7^3)（10^n-１）^3

=370(10^3n-3・10^2n+3・10^n-1)

=(3・10^2+7・10)（10^3n-3・10^2n+3・10^n-1)=・・・

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