１^3+５^3+３^3=１５３

のように

１００ａ＋１０ｂ＋ｃ＝ａ^3+ｂ^3+ｃ^3となる数を３ナルシスト数，

１０^3ａ＋１０^2ｂ＋１０ｃ＋ｄ＝ａ^4+ｂ^4+ｃ^4＋ｄ^4となる数を４ナルシスト数，

１０^4ａ＋１０^3ｂ＋１０^2ｃ＋１０ｄ＋ｅ＝ａ^5+ｂ^5+ｃ^5＋ｄ^5＋ｅ^5となる数を５ナルシスト数という．

　ｎナルシスト数（ナルシシスト数）はｎ≦６０のときしか存在しない．また，ナルシスト数（ナルシシスト数）は全部で８８個あることが証明されている．

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　それに対して，

　　５＋１＋２＝８

　　５１２＝８^3

のように

　　１００ａ＋１０ｂ＋ｃ＝（ａ＋ｂ＋ｃ）^3

の解は「デュドニー数」と呼ばれている．

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　さらに似たような数として「ミュンヒハウゼン数」がある．

　ナルシスト数は各桁の数をｎ乗した値

　　１^3+５^3+３^3=１５３

であったが，ミュンヒハウゼン数は各桁の数を累乗した値を使う．

　　３^3+４^4＋３^3＋５^5=３４３５

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　　３^3+４^4＋３^3＋５^5=３４３５

　　ａ^a+ｂ^b＋ｃ^c＋ｄ^d＝１０００ａ＋１００ｂ＋１０ｃ＋ｄ

１≦ａ，ｂ，ｃ，ｄ≦９

ｍａ＝ｍａｘ｛ａ，ｂ，ｃ，ｄ｝，ｍｉ＝ｍｉｎ｛ａ，ｂ，ｃ，ｄ｝とすると、

ｎ桁のミュンヒハウゼン数は最小値〜ｎ・ｍｉ^mi，最大値〜ｎ・ｍａ^ma

右辺は最小値〜１０^n-1，最大値〜１０^n

　　ｎ・ｍａ^ma＜１０^n-1またはｎ・ｍｉ^mi＞１０^nを満たすとき，ｎ桁のミュンヒハウゼン数は存在しない．

　　ｍａｌｏｇ10ｍａ＜ｎ−１−ｌｏｇ10ｎ，

　　ｍｉｌｏｇ10ｍｉ＞ｎ−ｌｏｇ10ｎ

　これより，｛ａ，ｂ，ｃ，・・・｝については

ｎ＝２のとき，２−４　　　ｎ＝６のとき，５−７

ｎ＝３のとき，３−５　　　ｎ＝７のとき，６−８

ｎ＝４のとき，３−５　　　ｎ＝８のとき，７−８

ｎ＝５のとき，４−６　　　ｎ＝９のとき，７−９

が考える対象になることがわかる．

　解の存在範囲を絞り込みをしているので計算ははすぐ終わるが，自明なものは除き，６桁までの範囲でミュンヒハウゼン数は存在しないことがわかった．

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実はこのような性質をもつ数は（自明な１を除けば）３４３５しかない。

０^0＝１であるが、特別に０^0＝０と定義したとしても（自明な０と１を除けば）

３４３５と

４３８５７９０８８＝４^4+３^3+８^8+５^5+７^7+９^9+０^0+８^8+８^8

しかない。

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