［１］１００ａ＋１０ｂ＋ｃ＝ａ^3+ｂ^3+ｃ^3となる数を３ナルシシスト数，

ｎ桁のナルシシスト数の左辺の最小値は１０^n-1，最大値は１０^n−１

右辺の最大値はｎ・９^n，最小値は０／１であることから，解の存在範囲は

　　ｎ・９^n＜１０^n-1

で与えられる．

［２］１００ａ＋１０ｂ＋ｃ＝（ａ＋ｂ＋ｃ）^3となる数を３デュドニー数，

ｎ桁のデュドニー数の左辺の最小値は１０^n-1，最大値は１０^n−１

右辺の最大値は（９ｎ）^3，最小値は０／１であることから，解の存在範囲は

　　（９ｎ）^3＜１０^n-1

で与えられる．

　［１］では桁数が一致している必要があるが，［２］はその必要がない．そうすれば［１］を拡張した，これらの中間の数も考えることができるが，はたして存在するだろうか？

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　ナルシシスト数（アームストロング数）は，各桁の数字を桁数乗して足し併せるともとの数になる数であったが，たとえば，各桁の数字を桁数±１乗して足し併せるともとの数になる数を考えることができる．

　４１５０＝４^5＋１^5＋５^5＋０^5

　４１５１＝４^5＋１^5＋５^5＋１^5

　１９４９７９＝１^5＋９^5＋４^5＋９^5＋７^5＋９^5

　１４４５９９２９＝１^7＋４^7＋４^7＋５^7＋９^7＋９^7＋２^7＋９^7

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