［Ｑ］円に内接する五角形や六角形についてもヘロンの公式はあるのだろうか？

［Ａ］存在しないことの証明が

　　［参］のんびり数学研究会「ガロアに出会う」数学書房

に掲載されている．

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　三角形の内接円の半径は

　　１／２・２（ｄ＋ｅ＋ｆ）・ｒ＝Ｓ

であるから，

　　ｒ＝（ｄｅｆ／（ｄ＋ｅ＋ｆ））^1/2

　次に，四角形が内接円をもつときを考えてみよう．四角形の内接円の半径は

　　ｒ＝｛（ｅｆｇ＋ｆｇｈ＋ｇｈｅ＋ｈｅｇ）／（ｅ＋ｆ＋ｇ＋ｈ）｝^1/2

となる．

　　Ｓ＝１／２・２（ｅ＋ｆ＋ｇ＋ｈ）・ｒ

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　五角形が内接円をもつ場合は，

　　Ｓ＝１／２・２（ｆ＋ｇ＋ｈ＋ｉ＋ｊ）・ｒ

は成り立つが，

　　ｒ＝｛（ｆｇｈ＋ｇｈｉ＋ｈｉｊ＋ｉｊｆ＋ｊｆｇ）／（ｆ＋ｇ＋ｈ＋ｉ＋ｊ）｝^1/2

は成り立たない．

　　［参］小寺裕「関孝和・算聖の数学思潮」現代数学社

によると

　　（ｆ＋ｇ＋ｈ＋ｉ＋ｊ）ｒ4−Ａｒ^2＋（ｆｇｈｉｊ）＝０

Ａは（ｆｇｈ＋ｇｈｉ＋ｈｉｊ＋ｉｊｆ＋ｊｆｇ）ではなく，５個から３個をとったすべての組み合わせの１０項となる．

　三角形の場合は３個から２個とったすべての組み合わせは１項であり，

　　ｒ＝（ｄｅｆ／（ｄ＋ｅ＋ｆ））^1/2

四角形の場合は４個から３個をとったすべての組み合わせは４項であり，

　　ｒ＝｛（ｅｆｇ＋ｆｇｈ＋ｇｈｅ＋ｈｅｇ）／（ｅ＋ｆ＋ｇ＋ｈ）｝^1/2

になる．

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