【１】第２種スターリング数

　ここでは，ｎ個の数字を３つのグループＡ，Ｂ，Ｃに分ける方法の総数で，ただし，各グループＡ，Ｂ，Ｃは少なくとも１つの数字を含むものとします．

　もっと一般に，１≦ｋ≦ｎとし，ｎ個の数字をｋ個のグループに分ける方法の総数で，ただし，各グループは少なくとも１つの数字を含むものの数をnＳkとします．

　nＳkは第２種スターリング数と呼ばれるもので，漸化式

　　n+1Ｓk＝nＳk-1＋ｋnＳk

が成り立ちます．

　　nＳ1＝１

　　nＳ2＝２^n-1−１＝（２^n−２）／２！

　　nＳ3＝３^n-1／２−２^n-1＋１／２＝（３^n−３・２^n＋３）／３！

　　nＳ4＝４^n-1／６−３^n-1／２＋２^n-2−１／６＝（４^n−４・３^n＋６・２^n−４）／４！

　一般項は

　　nＳk＝１／ｋ！Σ（−１）^k-jkＣjｊ^n

以下，

　　nＳ5＝（５^n−５・４^n＋１０・３^n−１０・２^n＋５）／５！

　　nＳ6＝（６^n−６・５^n＋１５・４^n−２０・３^n＋１５・２^n−６）／６！

と続く．

　母関数は１／（１−ｘ）（１−２ｘ）・・・（１−ｋｘ）．

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【３】ベル数

　ｎ個の数字をいくつかの空でない部分集合に分ける方法の総数で，Ｂnで表す．

［１］ｎ＝２：｛１｝∪｛２｝，｛１，２｝→Ｂ2＝２

［２］ｎ＝３：｛１｝∪｛２｝∪｛３｝，｛１，２｝∪｛３｝，｛１，３｝∪｛２｝，｛２，３｝∪｛１｝，｛１，２，３｝→Ｂ3＝１＋３＋１＝５

［３］ｎ＝４：｛１｝∪｛２｝∪｛３｝∪｛４｝１通り

｛１，２，３｝∪｛４｝など４通り，

｛１，２｝∪｛３，４｝など３通り

｛１｝∪｛２｝∪｛３，４｝など６通り

｛１，２，３，４｝１通り→Ｂ4＝１＋４＋３＋６＋１＝１５

［４］ｎ＝５：Ｂ5＝５２

［５］ｎ＝６：Ｂ6＝２０３

　一般に

　　Ｂn＝ΣnＳk　　（ｋ＝１〜ｎ）

　　4Ｓ1＝１，4Ｓ2＝７，4Ｓ3＝６，4Ｓ4＝１→Ｂ4＝１＋７＝６＋１＝１５

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【４】第１種スターリング数

　ｎ個のものをｋ個の巡回置換に分解できる置換の総数．たとえば，３このものの置換は６個あるが，それを分解すると

［１］１個のサイクル：（１２３）（１３２）→3Ｔ1＝２

［２］２個ののサイクル：（１２）（３），（１３）（２），（２３）（１）→3Ｔ2＝３

［３］３個ののサイクル：（１）（２）（３）→3Ｔ3＝１

　一般に

　　ｎ！＝ΣnＴk　　（ｋ＝１〜ｎ）

　　３！＝3Ｔ1＋3Ｔ2＋3Ｔ3＝２＋３＋１＝６

　　n+1ＴＳk＝nＴk-1＋ｎnＴk

が成り立つ．

　母関数は１／（１＋ｘ）（１＋２ｘ）・・・（１＋ｎｘ）．

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