モーリーの三角形の１辺の長さは，

　　８Ｒ・ｓｉｎα／３・ｓｉｎβ／３・ｓｉｎγ／３

で与えられますが，この証明には

　　ａｂｃ＝４Ｒ△

やヘロンの公式が使われるに違いない・・・

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　三角形ＡＢＣに対応するモーリーの三角形をＰＱＲとする．７つのコンパートメントの面積を求める方がいいのかもしれないが，まずずΔＡＲＱについて計算してみたい．

　Δに正弦定理を適用すると

　ＡＲ／ｓｉｎ（β／３）＝ｃ／ｓｉｎ（π−（α＋β）／３）＝ｃ／ｓｉｎ（（α＋β）／３）

　ｃ＝２Ｒｓｉｎγであるから

　　ＡＲ＝２Ｒｓｉｎγ・ｓｉｎβ／３／ｓｉｎ（（α＋β）／３）

＝２Ｒｓｉｎγ・ｓｉｎβ／３／ｓｉｎ（（π−γ）／３）

＝８Ｒｓｉｎγ／３・ｓｉｎβ／３・ｓｉｎ（（π＋γ）／３）

　同様に

　ＡＱ＝８Ｒｓｉｎγ／３・ｓｉｎβ／３・ｓｉｎ（（π＋β）／３）

ΔＡＲＱに余弦定理を適用すると

　　ＲＱ^2＝６４Ｒ^2ｓｉｎ^2γ／３・ｓｉｎ^2β／３｛ｓｉｎ^2（（π＋γ）／３）＋ｓｉｎ^2（（π＋β）／３）−２ｓｉｎ（（π＋γ）／３）ｓｉｎ（（π＋β）／３）ｃｏｓα／３｝

　ここで，

｛ｓｉｎ^2（（π＋γ）／３）＋ｓｉｎ^2（（π＋β）／３）−２ｓｉｎ（（π＋γ）／３）ｓｉｎ（（π＋β）／３）ｃｏｓα／３｝＝ｓｉｎ^2α／３が示されるので，

　　８Ｒ・ｓｉｎα／３・ｓｉｎβ／３・ｓｉｎγ／３

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