ヘロンの公式とは，

Δ^2＝（２ａ^2ｂ^2＋２ｂ^2ｃ^2＋２ｃ^2ａ^2－ａ^4－ｂ^4－ｃ^4）／１６

　　＝（ａ＋ｂ＋ｃ）（－ａ＋ｂ＋ｃ）（ａ－ｂ＋ｃ）（ａ＋ｂ－ｃ）／１６

ｒ／Ｒ＝４ｃｏｓＡ・ｃｏｓＢ・ｃｏｓＣ

でなく

ｒ／Ｒ＝４ｓｉｎＡ／２・ｓｉｎＢ／２・ｓｉｎＣ／２

となると，すべて正になるので都合ががいい．

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　（その４）より，

→ｃｏｓＡ＝（ｂ^2＋ｃ^2－ａ^2）／２ｂｃ

　ｃｏｓＢ＝（ｃ^2＋ａ^2－ｂ^2）／２ｃａ

　ｃｏｓＣ＝（ａ^2＋ｂ^2－ｃ^2）／２ａｂ

　　２△＝ａｂｓｉｎＣ＝ｂｃｓｉｎＡ＝ｃａｓｉｎＢ

→ｓｉｎＡ＝２△／ｂｃ，ｓｉｎＢ＝２△／ｃａ，ｓｉｎＣ＝２△／ａｂ

　　ａｂｃ＝４Ｒ△，（ａ＋ｂ＋ｃ）ｒ＝２△

　　ａｂｃ＝２Ｒ（ａ＋ｂ＋ｃ）ｒ

　　ａｂｃ／４△＝Ｒ，ｒ＝２△／（ａ＋ｂ＋ｃ）

　　Ｒｒ^2＝ａｂｃ△／（ａ＋ｂ＋ｃ）^2

を用いることにする．

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４ｓｉｎＡ／２・ｓｉｎＢ／２・ｓｉｎＣ／２

＝（２・２ｓｉｎ^2Ａ／２・２ｓｉｎ^2Ｂ／２・２ｓｉｎ^2Ｃ／２）^1/2

＝｛２（１－ｃｏｓＡ）（１－ｃｏｓＢ）（１－ｃｏｓＢ）｝^1/2

＝｛２（１－（ｂ^2＋ｃ^2－ａ^2）／２ｂｃ）（１－（ｃ^2＋ａ^2－ｂ^2）／２ｃａ）（１－（ａ^2＋ｂ^2－ｃ^2）／２ａｂ）｝^1/2

＝｛２（ａ^2－（ｂ－ｃ）^2）／２ｂｃ）（ｂ－（ｃ－ａ）^2／２ｃａ）（ｃ^2－（ａ－ｂ）^2／２ａｂ）｝^1/2

＝｛（ｂ＋ｃ－ａ）^2（ｃ＋ａ－ｂ）^2（ａ＋ｂ－ｃ）^2／４ａ^2ｂ^2ｃ^2｝^1/2

＝（ｂ＋ｃ－ａ）（ｃ＋ａ－ｂ）（ａ＋ｂ－ｃ）／２ａｂｃ

＝（ａ＋ｂ＋ｃ）（ｂ＋ｃ－ａ）（ｃ＋ａ－ｂ）（ａ＋ｂ－ｃ）／２ａｂｃ（ａ＋ｂ＋ｃ）

＝１６Δ^2／２・４Ｒ△・２△／ｒ＝ｒ／Ｒ

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