[1]1,3,5,7,9,11,13,・・・

[2]1,2,4,8,16,32,64,・・・

[3]1,1,2,3,5,8,13,21,・・・

はそれぞれ等差数列、等比数列、フィボナッチ数列と呼ばれているものです。それでは

[4]1,11,21,1211,111221,312211,・・・

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この数列は１９８６年、コンウェイによって作られたもので、小学生はわかるが数学者はわからないというものです。

実はlook and say数列になっていて、

1(１個の１)→11（2個の１）→21（1個の2と1個の1）→1211（1個の1と1個の２と2個の１）→111221(3個の1と2個の2と１個の1）→312211

これは１個の３と１個の1と２個の２と２個の１と読めますから

312211と続きます。

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数学者が調べたところ、おもしろい性質がわかりました。例えば、

[1]１,２,３以外の数は絶対に出てこない（この数列に現れる数は1，2，3だけである）

[2]1111,2222のように同じ数が４つ以上並ぶことはない

[3]最初の1以外は11,12,13,21,22,23,31,32のどれかの組み合わせからできている。

[4]どんな数から始まっても互いに邪魔しあわず、くっついた２つの数列の組み合わせでできている

たとえば、Aで始めると

A,1A,111A,311A13211A,111312211A,・・・

Aを消すと、1,111,311,13211,111312211，・・・

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結果として得られる数列は９２種類のユニットで構成されることがわかっています。ただし、22で始まる場合は

22,22,22,22,22,22,22,22,・・・

と22が続くだけで、公差0の等差数列、公比1の等比数列になってしまいます。

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[1]１,２,３以外の数は絶対に出てこない（この数列に現れる数は1，2，3だけである）

第２項以降は左から奇数桁目が数字の個数、偶数桁目は前の数字に表れる数字を表す。

anの奇数桁目に4が現れたとすると、an-1には同じ数字が4つ以上連続することになる。

しかし、偶数桁目に同じ数字が連続することはない。abcbはa個のbとc個のbは(a+c)個のbというべきであるからである。

同様に4以上の数字も表れない。

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[5]anの桁数をlnとするとln≦ln+1、すなわち、桁数は単調非減少。

2項目以降はlnは偶数である。偶数桁目に同じ数字が連続することはない。

anには1/2・ln個以上a個のbブロックが存在する。1個のブロックに次の項の２桁が対応するのでln+1≧1/2・ln・2＝ln

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22で始まる場合は

22,22,22,22,22,22,22,22,・・・

と22が続くだけで、公差0の等差数列、公比1の等比数列になってしまいます。これ以外は

[6]桁数は無限大に発散する

　　ln+1/ln〜1.3

であることが知られているそうです

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