【３】best possible

この方法はもっとも標準的な解法ですが，正八角形の周長だと次のようになります．

　　π＞８ｓｉｎ２２．５°＝８｛（１−ｃｏｓ４５°）／２｝^1/2

　　π＞４｛２−√２｝^1/2＝３．０６１４７

正多角形の周長の代わりに面積を用いて大小比較する場合，単位円に内接する正ｎ角形の面積は

　　Ｓ1＝1/２・ｎｓｉｎ（2π／ｎ）

また，外接する場合，

　　Ｓ2＝ｎｔａｎ（π／ｎ）

ですが，正１２角形でも足りず，正２４角形について検討する必要があります．

　円周率の近似計算は円に対して内側と外側からそれぞれ内接する多角形を用いますが，周長と面積を使う場合で多少事情が異なります．

　一般に，凸ｎ角形の面積Ｓ，周長Ｌ，内接円の半径ｒ，外接円の半径Ｒの間には，次の不等式が成り立ちます．

　　２ｎｒｔａｎ（π／ｎ）≦Ｌ≦２ｎＲｓｉｎ（π／ｎ）

　　ｎｒ^2ｔａｎ（π／ｎ）≦Ｓ≦１／２ｎＲ^2ｓｉｎ（２π／ｎ）

　　Ｒ／ｒ＝ｓｅｃ（π／ｎ）

　これを円周率をメインにして書くと，それぞれ

　　ｎｓｉｎ（π／ｎ）≦π≦ｎｔａｎ（π／ｎ）

　　ｎｓｉｎ（π／ｎ）ｃｏｓ（π／ｎ）≦π≦ｎｔａｎ（π／ｎ）／ｃｏｓ（π／ｎ）

となって，周長を使った方が近似度が高くなることがわかります．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝