【２】ｓｉｎ１°の無理数性

［Ｑ］ｔａｎ１°は有理数か？　無理数か？

の問題では，なぜtanを使ったか？

［１］tanの加法定理はtanのみで表現できる．試験問題は，その後，数学的帰納法と背理法を使って論理性を確かめることを主眼としている．とすれば，関数として，tanをして使ったのは適切だという気がする．

［２］sinの加法定理はsin,cosの両方が出てきてしまう．よって，限られた時間内に解くので，受験生にとっては災難．

ｔａｎ１°が無理数であることは加法定理を使って示すことができますが，ｓｉｎ１°が無理数であることの証明は格段と難しくなります．背理法を使って証明してみましょう．

　ｓｉｎ１°が有理数であると仮定する．３倍角の公式，

　　ｓｉｎ３θ＝３ｓｉｎθ−４ｓｉｎ^3θ

よりｓｉｎ３°は有理数．次に，５倍角の公式，

　　ｓｉｎ５θ＝１６ｓｉｎ^5−２０ｓｉｎ^3θ＋５ｓｉｎθ

よりｓｉｎ１５°は有理数．

　これは，

　　ｓｉｎ１５°＝（√６−√２）／４は無理数

であることに矛盾する．

　高校生ならば三角関数の加法定理を使って

　　ｓｉｎ１５°＝ｓｉｎ（６０°−４５°）＝ｓｉｎ６０°ｃｏｓ４５°−ｃｏｓ６０°ｓｉｎ４５°＝（√６−√２）／４

　中学生でも１：√３：２（３０°，６０°，９０°）の直角三角形の長さ√３の辺を斜辺の長さ２だけ延長させた１：２＋√３：√６＋√２（１５°，７５°，９０°）の直角三角形に対して，ピタゴラスの定理を利用して

　　ｓｉｎ１５°＝（２＋√３）／（√６＋√２）＝（√６−√２）／４

を求めることができるだろう．

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