【１】ｔａｎ１°の無理数性

京都大学の入試問題（２００６年）に

［Ｑ］ｔａｎ１°は有理数か？　無理数か？

という問題が出題されているそうである．

［A］背理法で証明する，正接の加法定理

　　ｔａｎ（ｘ＋ｙ）＝（ｔａｎｘ＋ｔａｎｙ）／（１−ｔａｎｘ・ｔａｎｙ）

において，ｔａｎｘとｔａｎｙの両者が有理数ならばｔａｎ（ｘ＋ｙ）も有理数である．

　ｔａｎ１°が有理数と仮定すると，ｔａｎ２°も有理数である．ｔａｎ２°が有理数と仮定すると，ｔａｎ３°も有理数である．この操作を繰り返すとｔａｎ３０°も有理数となるが，実際はｔａｎ３０°＝１／√３（無理数）であるから矛盾する．（もちろん，ｔａｎ６０°も有理数となるから矛盾であるとしてもよい．）

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