角αがcosα=1/3(tanα=2√2)を満たすならばαはπの有理数倍ではないことを証明せよ。

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tan(n+1)α=(tanα+tannα)/(1-tanαtannα)

により、

tanα=2√2

tan2α=-4/7・√2

tan3α=10/23・√2

もし、tannα=a/b・√2ならば

tan(n+1)α=(a+2b)/(b-4a)・√2

となって、tannαはすべてのｎに対して√2の有理数倍である。

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この分数の分母分子をmod3でみれば、

(a,b)=(2,1)→(a+2b,b-4a)→(1,2)→(2,1)→・・・

と巡回し、どちらも0になりえない。すなわち、tannαは0、∞ではない

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