［Ｑ］ｃｏｓπ／７−ｃｏｓ２π／７＋ｃｏｓ３π／７＝１／２を示せ．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

［Ａ］−ｃｏｓ２π／７＝ｃｏｓ５π／７であるから，この問題は

　　ｃｏｓπ／７＋ｃｏｓ３π／７＋ｃｏｓ５π／７＝１／２

と同値である．

　　θ＝π／７，７θ＝πより，

　　ｃｏｓ（３θ＋４θ）＝−１

　　ｃｏｓ（３θ）＝−ｃｏｓ（４θ）

　３倍角の公式は

　　ｃｏｓ（３θ）＝４ｃｏｓ^3θ−３ｃｏｓθ

４倍角の公式を知らなければ，倍角の公式を２回適用して

　　ｃｏｓ（４θ）＝２ｃｏｓ^2２θ−１＝８ｃｏｓ^4θ−８ｃｏｓ^2θ＋１

　したがって，ｃｏｓπ／７を解とする方程式は

　　４ｘ^3−３ｘ＝−８ｘ^4＋８ｘ^2−１

　　８ｘ^4＋４ｘ^3−８ｘ^2−３ｘ＋１＝０

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　実は，この方程式はｃｏｓπ／７のみならず，ｃｏｓ３π／７，ｃｏｓ５π／７，ｃｏｓ７π／７＝ｃｏｓπ＝−１も解となる．

θ=π／７，3π／７，5π／７は7θ=(2n-1)π，n=1,2,3を満たすので、いずれも

　　ｃｏｓ（３θ）＝−ｃｏｓ（４θ）

を満たす。

　したがって，

　　８ｘ^4＋４ｘ^3−８ｘ^2−３ｘ＋１＝０

　　（ｘ＋１）（８ｘ^3−４ｘ^2−４ｘ＋１）＝０

と因数分解できる．

　ｃｏｓπ／７，ｃｏｓ３π／７，ｃｏｓ５π／７は，

　　８ｘ^3−４ｘ^2−４ｘ＋１＝０

の３根となる．

　根と係数の関係より

　　ｃｏｓπ／７＋ｃｏｓ３π／７＋ｃｏｓ５π／７＝４／８＝１／２

　　ｃｏｓπ／７・ｃｏｓ３π／７・ｃｏｓ５π／７＝−１／８

が示される．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝