［Ｑ］ｎ人でじゃんけんをしたとき，あいこになる確率は？

［Ａ］あいこにならない確率を求めて１からひく．全員の手の出し方は３^n通り．あいこにならないのは全員の手が２種類（たとえばグーとチョキ）で３通りある．全員がグーまたはチョキとなる手の出し方は２^n通りであるが，全員がグーまたは全員がチョキとなる手の出し方の２通りを除外する必要があるから，３（２^n−２）通り．

｛３^n−３（２^n−２）｝／３^n

＝１−（２^n−２）／３^n-1

ｎ＝２のとき，１−２／３＝１／３

ｎ＝３のとき，１−６／９＝１／３

ｎ＝４のとき，１−１４／２７＝１３／２７

　　[参]清史弘「数学的思考の日常」、現代数学社

ではこの問題を深化させています。・・・ｎ人でじゃんけんをすれば平均何回で終わるか？

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[１]ｎ人がじゃんけんしてｍ人が勝つ確率ｑm

ｑm=nＣm・3・(1/3)^n=nＣm・(1/3)^n-1

[２]あいこになる確率＝誰も勝たない確率

１-ｑ1-ｑ2・・・-ｑn-1=1-(1/3)^n-1・ΣnＣm

＝１−（２^n−２）／３^n-1

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[３]ｎ人でじゃんけんを始めて、勝者が1人に決まるまでのじゃんけんの回数の期待値

まずは2人でじゃんけんをしたとき決着がつくまでの回数の期待値E2を求めると

ｋ-1回あいこが続き、ｋ回目に勝者が決まる確率をｐkとすると

ｎ＝２のとき，あいこになる確率は１−２／３＝１／３であるから

ｐk=(1/3)^k-1・(1-1/3)

E2=Σｋｐk＝(2/3) Σ(1/3)^k-1=(2/3) 1/（1-/3)^2＝3/2

これは2人でじゃんけんすると平均1.5回で決着がつくことを意味している。

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次に3人でじゃんけんをしたとき決着がつくまでの回数の期待値E3であるが、まずは補題から・・・

　あいこの確率はｎ＝１０のとき，９４．８％，すなわち，１０人もいればほぼあいこといえるが，１回のじゃんけんだけでただ一人の勝ちが決まる確率だって０ではない．その確率を求めてみよう．

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［Ｑ］ｎ人でじゃんけんをしたとき，１回で勝者が決まる確率は？

［Ａ］全員の手の出し方は３^n通り．１回で勝者が決まるのは全員の手が２種類（たとえばグーとチョキ）で３通り．特定のひとり（自分）がグーを出し，残りのｎ−１人がチョキとなる手の出し方は１通り．ｎ人のうちの誰か一人ががグーを出し，残りのｎ−１人がチョキとなる手の出し方はｎ通り．

したがって，自分ひとりが勝つ確率は３／３^n＝１／３^n-1

誰かひとりが勝つ確率は３ｎ／３^n＝ｎ／３^n-1

ｎ＝２のとき，誰かひとりが勝つ確率は２／３　　（ＯＫ）

ｎ＝３のとき，３／９＝１／３

ｎ＝４のとき，４／２７（１４．８％）

ｎ＝５のとき，６．２％

ｎ＝６のとき，２．５％

ｎ＝７のとき，０．９６％

ｎ＝８のとき，０．３７％

ｎ＝９のとき，０．１４％

ｎ＝１０のとき，０．０５％

ｎ→∞のとき，ｎ／３^n-1→０％

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3人でじゃんけんをしたとき

確率1/3で一人の勝者が決まる。

あいこの確率は1/3であるから、確率1/3で二人の勝者が決まる。

このときすでに1回じゃんけんしている

勝者が決まるまでE2回のじゃんけんを行うことが期待される

確率1/3であいこになる。

このときすでに1回じゃんけんしている

勝者が決まるまでE2回のじゃんけんを行うことが期待される

以上により

E3=1/3・1+1/3(1+E2)+1/3(1+E3)

E2=3/2よりE3=9/4

これは3人でじゃんけんすると平均2.25回で決着がつくことを意味している。

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E4は

E4=4/27・1+6/27(1+E2)+4/27(1+E3)+13/27(1+E4)

より、E4=45/14=3.21

ｎ人がじゃんけんしてｍ人が勝つ確率ｑm

ｑm=nＣm・3・(1/3)^n=nＣm・(1/3)^n-1

4人がじゃんけんして1人が勝つ確率4/27

4人がじゃんけんして2人が勝つ確率6/27

4人がじゃんけんして3人が勝つ確率4/27

あいこになる確率＝誰も勝たない確率

１-ｑ1-ｑ2・・・-ｑn-1=1-(1/3)^n-1・ΣnＣm

＝１−（２^n−２）／３^n-1

13/27

E5=5/81・1+10/81(1+E2)+10/81(1+E3)+5/81(1+E4)+51/81(1+E5)

より,E5=157/35=4.49

5人がじゃんけんして1人が勝つ確率5/81

5人がじゃんけんして2人が勝つ確率10/81

5人がじゃんけんして3人が勝つ確率10/81

5人がじゃんけんして4人が勝つ確率5/81

あいこになる確率＝誰も勝たない確率

１-ｑ1-ｑ2・・・-ｑn-1=1-(1/3)^n-1・ΣnＣm

＝１−（２^n−２）／３^n-1

51/81

E6=13497/2170=6.22,E7=225161/26040=8.65

E8=12.10

E9=17.09

E10=24.35

E20=1142.90

E30=64201.24 となるのだそうだ・・・やれやれ

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