２円または３円が交わったヴェン図を描いたことがあるだろう．２円の場合，共通部分がひとつできるが，３円の場合は２円の共通部分が３つ，３円の共通部分がひとつできる．

　中学・高校で４円以上が取り扱われることはまずないが，ｎ円となっても原理は同じである．それは，共通部分に含まれるものを引いて，引き過ぎた分を足し直してということを繰り返す包除原理である．

　包除公式の例として，第２種スターリング数やデーン・サマービル関係式をあげることができる．

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【１】第２種スターリング数

　１≦ｋ≦ｎとし，ｎ個の数字をｋ個のグループに分ける方法の総数で，ただし，各グループは少なくとも１つの数字を含むものの数をnＳkとする．

　nＳkは第２種スターリング数と呼ばれるもので，漸化式

　　n+1Ｓk＝nＳk-1＋ｋnＳk

が成り立つ．

　　nＳ1＝１

　　nＳ2＝２^n-1−１＝（２^n−２）／２！

　　nＳ3＝３^n-1／２−２^n-1＋１／２＝（３^n−３・２^n＋３）／３！

　　nＳ4＝４^n-1／６−３^n-1／２＋２^n-2−１／６＝（４^n−４・３^n＋６・２^n−４）／４！

　一般項は

　　nＳk＝１／ｋ！Σ（−１）^k-jkＣjｊ^n

以下，

　　nＳ5＝（５^n−５・４^n＋１０・３^n−１０・２^n＋５）／５！

　　nＳ6＝（６^n−６・５^n＋１５・４^n−２０・３^n＋１５・２^n−６）／６！

と続く．

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【２】デーン・サマービル関係式

　各頂点がｎ本の辺上にあるｎ価のｎ次多面体（単純多面体）に対しては，デーン・サマービル関係式

　　ｆk＝Σ(0,k)（−１）^j（ｎ−ｊ，ｎ−ｋ）ｆj

が成り立つ．

　ｋ次元面はｎ−ｋ個のファセットの共通部分に含まれる，残りのｎ−ｊ個のファセット上のあるものを引いて，引き過ぎた分を足し直してということを繰り返した包除公式である．

　単純ｎ次多面体に対して，与えられたｊ次面を含むｋ次面の数は（ｎ−ｊ，ｎ−ｋ）になる．ｋ＝ｎのときがオイラー関係式

　　ｆn＝Σ(0,n)（−１）^jｆj

であるが，オイラー関係式は単純多面体だけでなく任意の多面体に対して成り立つ．

　デーンは１９０５年に５次元においてこの関係式を証明した．およそ２０年後の１９２７年，サマービルが一般の場合を証明した．

［例］空間充填２（２^n−１）胞体の面数はデーン・サマービル関係式を満たす．

２次元：（ｆ0，ｆ1）＝（６，６）

３次元：（ｆ0，ｆ1，ｆ2）＝（２４，３６，１４）

４次元：（ｆ0，ｆ1，ｆ2，ｆ3）＝（１２０，２４０，１５０，３０）

５次元：（ｆ0，ｆ1，ｆ2，ｆ3，ｆ4）＝（７２０，１８００，１５６０，５４０，６２）

６次元：（ｆ0，ｆ1，ｆ2，ｆ3，ｆ4，ｆ5）＝（５０４０，１５１２０，１６８００，８４００，１８０６，１２６）

［例］３^n−１胞体の面数はデーン・サマービル関係式を満たす．

２次元：（ｆ0，ｆ1）＝（８，８）

３次元：（ｆ0，ｆ1，ｆ2）＝（４８，７２，２６）

４次元：（ｆ0，ｆ1，ｆ2，ｆ3）＝（３８４，７６８，４６４，８０）

５次元：（ｆ0，ｆ1，ｆ2，ｆ3，ｆ4）＝（３８４０，９６００，８１６０，２６４０，２４２）

６次元：（ｆ0，ｆ1，ｆ2，ｆ3，ｆ4，ｆ5）＝（４６０８０，１３８２４０，１５１６８０，７２９６０，１４１６８，７２８）

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