【１】源氏香と非交差分割

Ｂ（４）＝｛｛１，２，３，４｝｝，｛｛１，２，３｝，｛４｝｝，・・・｛｛１｝，｛２｝，｛３｝，｛４｝｝などの分割は「源氏香」方式の図式で表すことができる．Ｂ（４）＝１５であるが，Ｂ（５）＝５２で、源氏香図には源氏物語５４帖のうち、桐壺と夢浮橋を除く52通りの名が付された図が登場する。当時に日本人がこれらを過不足なく数え上げていたことは、世界的に見ても称賛されることのようである。

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その際，弧が交差しないようにとれる分割を非交差分割という．Ｂ（４）＝１５であるが，｛｛１，３｝，｛２，４｝｝のみが交差分割で，その他は非交差分割である．

　非交差分割の個数は，カタラン数

　　2nＣn／（ｎ＋１）

で与えられる．ｎ＝４のとき，

　　8Ｃ4／（４＋１）＝８・７・６・５／２４・５＝１４

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【１】ベル数の漸化式

B(0)=1

B(1)=1

B(2)=2

B(3)=5

B(4)=15であったが、B(5)=52である。

B(n+1)=C(n,0)B(n)+C(n,1)B(n-1)+C(n,2)B(n-2)+・・・+C(n,n)B(0)

n=4では

B(5)=B(4)+4B(3)+6B(2)+4B(1)+B(0)=52

以下

B(6)=203,B(7)=877,B(8)=4140,B(9)=21147,B(10)=115975,B(11)=678570,・・・と続く

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