【３】三角関数の有理式の積分

exp(ix)=cosx+isinx

exp(-ix)=cosx-isinx

z=exp(ix)を用いると

cosx=1/2(exp(ix)+exp(-ix))=1/2(z+1/z)=(z^2+1)/2z

sinx=1/2i(exp(ix)-exp(-ix))=1/2i(z-1/z)=(z^2-1)/2iz

tanx=(z^2-1)/i(z^2+1)

dx=dz/iz

という関係で結ばれている

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φ(x)=∫dx/(sinx)^4=-cosx/3(sinx)^3-2cosx/3sinx

Ψ(x)=∫dx/(cosx)^4=tanx+1/3(tanx)^3

の場合は、t=tan(x/2),sinx=2t/(1+t^2), dx=2dt(1+t^2),cosx=(1-t^2)/(1+t^2)が有効である。

φ(x)=∫dx/(sinx)^4=∫(1+t^2)dt/t^4=-1/3t^3-1/t

Ψ(x)=φ(x+π/2)より示される

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z=exp(ix)を用いると

φ(x)=∫dx/(sinx)^4=-16/i∫z^3dz/(z^2-1)^4

=・・・

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