【３】三角関数の有理式の積分

exp(ix)=cosx+isinx

exp(-ix)=cosx-isinx

z=exp(ix)を用いると

cosx=1/2(exp(ix)+exp(-ix))=1/2(z+1/z)=(z^2+1)/2z

sinx=1/2i(exp(ix)-exp(-ix))=1/2i(z-1/z)=(z^2-1)/2iz

tanx=(z^2-1)/i(z^2+1)

dx=dz/iz

という関係で結ばれている

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φ(x)=∫dx/(sinx)^2=-cotx

Ψ(x)=∫dx/(cosx)^2=tanx

の場合は、t=tan(x/2)ではなく、t=tanxが有効である。

(sinx)^2=t^2/(1+t^2),dx=dt/(1+t^2)

φ(x)=∫dx/(sinx)^2=∫dt/t^2=-1/t=-cotx

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z=exp(ix)を用いると

φ(x)=∫dx/(sinx)^2

=-4/i∫zdz/(z^2-1)^2

=-4/i・-1/2・1/(z^2-1)

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