【３】三角関数の有理式の積分

exp(ix)=cosx+isinx

exp(-ix)=cosx-isinx

z=exp(ix)を用いると

cosx=1/2(exp(ix)+exp(-ix))=1/2(z+1/z)=(z^2+1)/2z

sinx=1/2i(exp(ix)-exp(-ix))=1/2i(z-1/z)=(z^2-1)/2iz

tanx=(z^2-1)/i(z^2+1)

dx=dz/iz

という関係で結ばれている

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φ(x)=∫dx/sinx=log|tanx/2|を示す。

t=tan(x/2),sinx=2t/(1+t^2), dx=2dt(1+t^2)

φ(x)=∫dx/sinx=∫(1+t^2)/2t・2dt/(1+t^2)=∫dt/t=log|t|=log|tanx/2|

Ψ(x)=∫dx/cosx=log|tan(x/2+π/4)|はΨ(x)=φ(x+π/2)より示される

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z=exp(ix)を用いると

φ(x)=∫dx/sinx

=∫2dz/(z^2-1)=∫{1/(z-1)-1/(z+1)}dz

=log(z-1)/(z+1)

=log|tanx/2|

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