【３】三角関数の有理式の積分

φ(x)=∫(sinx)^4dx=1/32sin4x-1/4sin2x+3/8x

φ(x)=∫(cosx)^4dx=1/32sin4x+1/4sin2x+3/8x

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exp(ix)=cosx+isinx

exp(-ix)=cosx-isinx

z=exp(ix)を用いると

cosx=1/2(exp(ix)+exp(-ix))=1/2(z+1/z)=(z^2+1)/2z

sinx=1/2i(exp(ix)-exp(-ix))=1/2i(z-1/z)=(z^2-1)/2iz

tanx=(z^2-1)/i(z^2+1)

dx=dz/iz

という関係で結ばれている

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z=exp(ix)を用いると

φ(x)=∫(sinx)^4dx=∫{1/2i(z-1/z))^4dz/iz

φ(x)=1/16i∫(z^3-4z+6/z-4/z^2+1/z^5)dz=1/16i{1/4(z^4-1/z^4)-2(z^2-1/z^2)+6logz}=1/32sin4x-1/4sin2x+3/8x

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