【３】三角関数の有理式の積分

φ(x)=∫(sinx)^3dx=1/4∫(3sinx-sin3)dx=1/12cos3x-3/4cosx

φ(x)=∫(cosx)^3dx=1/12sin3x+3/4sin

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

exp(ix)=cosx+isinx

exp(-ix)=cosx-isinx

z=exp(ix)を用いると

cosx=1/2(exp(ix)+exp(-ix))=1/2(z+1/z)=(z^2+1)/2z

sinx=1/2i(exp(ix)-exp(-ix))=1/2i(z-1/z)=(z^2-1)/2iz

tanx=(z^2-1)/i(z^2+1)

dx=dz/iz

という関係で結ばれている

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

z=exp(ix)を用いると

φ(x)=∫(sinx)^3dx=∫{1/2i(z-1/z))^3dz/iz

φ(x)=1/8∫(z^2-3+3/z2-1/z^4)dz=1/24(z^3+1/z^3)-3/8(z+1/z)=1/12cos3x-3/4cosx

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝