【３】三角関数の有理式の積分

φ(x)=∫(sinx)^2dx=1/2∫(1-cos2x)dx=-1/4sin2x+x/2

φ(x)=∫(cosx)^2dx=1/2∫(1+cos2x)dx=1/4sin2x+x/2

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exp(ix)=cosx+isinx

exp(-ix)=cosx-isinx

z=exp(ix)を用いると

cosx=1/2(exp(ix)+exp(-ix))=1/2(z+1/z)=(z^2+1)/2z

sinx=1/2i(exp(ix)-exp(-ix))=1/2i(z-1/z)=(z^2-1)/2iz

tanx=(z^2-1)/i(z^2+1)

dx=dz/iz

という関係で結ばれている

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z=exp(ix)を用いると

φ(x)=∫(sinx)^2dx=∫{1/2i(z-1/z))^2dz/iz

φ(x)=-1/4i∫(z-2/z+1/z^3)dz=-1/8i(z^2-1/z^2)+1/2i・logz=-1/4sin2x+x/2

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z=exp(ix)を用いると

φ(x)=∫(cosx)^2dx=∫{1/2(z+1/z))^2dz/iz

φ(x)=1/4i∫(z+2/z+1/z^3)dz=1/8i(z^2-1/z^2)+1/2i・logz=1/4sin2x+x/2

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