今回のコラムでは

　　∫(0,∞)sin^k(ax)/x^kdx=a^(n-1)π/2-a^(n-1)π/(m-1)!2^(n-1)Σ(-1)^(r-1)(n-1,r-1)(n-2r)^(n-1)

に注目し，シンク関数の積分不等式

　　1/π∫(-∞,∞)｜sin(x)/x｜^kdx≦√（２／ｋ）

　　1/π∫(0,∞)｜sin(x)/x｜^kdx≦１／√（２ｋ）　　（等号はｋ＝２のときに限る）

を検証したい．すると，この証明がボールの不等式

　　１≦Ｖn（ａ）≦√２

の証明につながっていくのである．

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【３】シンク関数の積分不等式

　1/π∫(0,∞)sin(x)/xdx=1/2<1/√2

　　1/π∫(0,∞)sin^2(x)/x^2dx=1/2=1/2

　　1/π∫(0,∞)sin^3(x)/x^3dx=3/8<1/√6

　　1/π∫(0,∞)sin^4(x)/x^4dx=1/3<1/√8

　　1/π∫(0,∞)sin^5(x)/x^5dx=115/384<1/√10

　　1/π∫(0,∞)sin^6(x)/x^6dx=11/40<1/√12

　　1/π∫(0,∞)sin^7(x)/x^7dx=5887/23040<1/√14

　　1/π∫(0,∞)sin^8(x)/x^8dx=151/630<1/4

　　1/π∫(0,∞)sin^9(x)/x^9dx=259732/1146880<1/√18

　　1/π∫(0,∞)sin^10(x)/x^10=15619/72576<1/√20

　　1/π∫(0,∞)sin^11(x)/x^11dx=381773117/1857945600<1/√22

　　1/π∫(0,∞)sin^12(x)/x^12dx=655177/3326400<1/√24

　　1/π∫(0,∞)sin^13(x)/x^13dx=20646903199/108999475200<1/√26

　　1/π∫(0,∞)sin^14(x)/x^14dx=27085381/148262400<1/√28

　　1/π∫(0,∞)sin^15(x)/x^15dx=467168310097/2645053931520<1/√30

　検証は阪本ひろむ氏による．しかし，検証をするだけでは物足りないので，

　　∫(0,∞)sin^k(x)/x^kdx≦1/√2k

の証明のあらすじだけ紹介すると，

　　sinx/x=1-x^2/6+x^4/120-･･･<1-x^2/6+x^4/120

　　exp(-x^2/6)=1-x^2/6+x^4/72-x^6/1296+･･･>1-x^2/6+x^4/72-x^6/1296

　　exp(-x^2/6)-sinx/x=x^4/72-x^6/1296-x^4/120>=0　　（ｘ^2≦36/5＜π^2のとき）

などの不等式を利用すると証明することができる．

　　0≦sinx/x≦exp(-x^2/6)　　（ｘ^2≦36/5＜π^2のとき）

より

　　∫(0,∞)sin^k(x)/x^kdx≦∫(0,∞)exp(-kx^2/6)dx1/√2k=1/2√(6/πk)≦1/√2k

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［補］シンク関数の積分不等式

　　∫(0,∞)sin^k(x)/x^kdx≦1/√2k　　（等号はｋ＝２のときに限る）

は，ｋを正の整数に限ると数学的帰納法を利用して証明する方が簡単そうに思える．

［１］ｋ＝１のとき

　　1/π∫(0,∞)sin(x)/xdx=1/2

したがって，シンク関数の積分不等式は成立する．

［２］ｋのとき

　　∫(0,∞)(sin(x)/x)^kdx≦1/√2k

が成立すると仮定すれば

　　∫(0,∞)(sin(x)/x)^kdx-∫(0,∞)(sin(x)/x)^k+1dx

　　=∫(0,∞){(sin(x)/x)^k-(sin(x)/x)^k+1}dx

　　=∫(0,∞)(sin(x)/x)^k{1-(sin(x)/x)}dx

　しかし，ここで粗い上界M=max{1-(sin(x)/x)}<5/4を設定して

　　∫(0,∞)(sin(x)/x)^k{1-(sin(x)/x)}dx<5/4∫(0,∞)(sin(x)/x)^kdx≦5/4･1/√2k

　　∫(0,∞)(sin(x)/x)^k+1dx≧-1/4･1/√2k

としたのでは何も得られない．

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