［４］三角関数の積分

　ｎ＝３の場合，ボールの定理

　　Ｖ3（ａ）＝2/πabc∫(0,∞)sin(ax)sin(bx)sin(cx)/x^3dx

と丹野の定理

　　Ｖ3（ａ）＝1/c-1/4abc{(a+b-c)^2}_

を組み合わせることによって，ａ，ｂ，ｃを正の定数０＜ａ≦ｂ≦ｃとし，

(1)ａ＋ｂ≦ｃならば，

　　2/π∫(0,∞)sin(ax)sin(bx)sin(cx)/x^3dx=ab

(2)ａ＋ｂ＞ｃならば，

　　2/π∫(0,∞)sin(ax)sin(bx)sin(cx)/x^3dx=ab-1/4(a+b-c)^2

が成り立つことが証明されます．

　また，とくに(2)において，ａ＝ｂ＝ｃならば，

　　∫(0,∞)sin^3(ax)/x^3dx=3a^2π/8

なのですが，丹野の定理を拡張すると，正の数ａと整数ｎ≧２に対して

　（定理２）

　　∫(0,∞)sin^n(ax)/x^ndx=a^(n-1)π/2-a^(n-1)π/(m-1)!2^(n-1)Σ(-1)^(r-1)(n-1,r-1)(n-2r)^(n-1)

　　(n-1,r-1)は２項係数n-1Ｃr-1，r=0~[(n-1)/2]，［］はガウス記号

が成り立ちます．

　この定理を用いると

　　∫(0,∞)sin(ax)/xdx=π/2

　　∫(0,∞)sin^2(ax)/x^2dx=aπ/2

　　∫(0,∞)sin^3(ax)/x^3dx=3a^2π/8

　　∫(0,∞)sin^4(ax)/x^4dx=a^3π/3

　　∫(0,∞)sin^5(ax)/x^5dx=115a^4π/384

　　∫(0,∞)sin^6(ax)/x^6dx=11a^5π/40

が求められます．

　ちなみに，詳しい公式集，

　　"Table of Integrals,Series and Products"

　　I.S.Gradshteyn and I.M.Ryzhik,6th Edition,Academic Press

p456-457でも，この形の積分に関しては，

　　∫(0,∞)sin^6(ax)/x^6dx=11a^5π/40

までしか載っていません．

　しかし，丹野の定理２を使えば，ずっと先まで求めることができるというわけです．

　　∫(0,∞)sin^7(ax)/x^7dx=5887a^6π/23040

　　∫(0,∞)sin^8(ax)/x^8dx=151a^7π/630

　　∫(0,∞)sin^9(ax)/x^9dx=259732a^8π/1146880

　　∫(0,∞)sin^10(ax)/x^10=15619a^9π/72576

　　∫(0,∞)sin^11(ax)/x^11dx=381773117a^10π/1857945600

　　∫(0,∞)sin^12(ax)/x^12dx=655177a^11π/3326400

　　∫(0,∞)sin^13(ax)/x^13dx=20646903199a^12π/108999475200

　　∫(0,∞)sin^14(ax)/x^14dx=27085381a^13π/148262400

　　∫(0,∞)sin^15(ax)/x^15dx=467168310097a^14π/2645053931520

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