【２】無理関数の積分

φ(x)=∫(1-x^2)^1/2dx

Ψ(x)=∫(x^2-1)^1/2dx

はそれぞれ、円x^2+y^2=1,双曲線x^2-y^2=1に根ざしている。

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ここでは

φ(x)=∫dx/(1-x^2)^1/2dx

を考える。

φ(x)=∫(0,x)dx/(1-x^2)^1/2dx=θは円弧長であり、x=sinθ、θ=arcsinxという関係で結ばれている。

したがって、φ(x)=arcsinx

φ(x)=∫dx/(a^2-x^2)^1/2dx=arcsin(x/a)

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(-a,0)を通り、傾きｔの直線y=t(x+a)と円x^2+y^2=a^2の交点を考えると

x=a(1-t^2)/(1+t^2),y=2at/(1+t^2),dx=-4at/(1+t^2)^2

φ(x)=∫dx/(a^2-x^2)^1/2dx=∫dx/y

=-∫2dt/(t^2+1)

=1/i∫1/(t+i)-1/(t-i)dt

=1/i・log(t+i)/(t-i)

w=(t+i)/(t-i)とおくと|w|=1,logw=log|w|+iargw=iargw

φ(x)=argw

θ=arg(1+it)とおくと、argw=π-2θ

tanθ=y/(x+a)

φ(x)=argw=-2arctany/(x+a)=arcsin(x/a)

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