【２】無理関数の積分

φ(x)=∫dx/(x+(x-1)^1/2)

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t=(x-1)^1/2→x=t^2+1, dx=2tdt

φ(x)=∫2tdt/(1+t+t^2)

φ(x)=∫(2t+1)dt/(1+t+t^2)-∫dt/(1+t+t^2)

∫dx/(x^2+a^2)=1/a・arctan(x/a)を用いると

φ(x)=log(1+t+t^2)-2/√3・arctan(2t+1)/√3

あとは変数xの式に戻すだけである

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φ(x)=∫2tdt/(1+t+t^2)に対して部分分数分解を施行すると

φ(x)=∫adt/(t-α)+∫bdt/(t-β)

α=(-1+i√3)/2,β=(-1-i√3)/2

a=1-1/i√3,b=1+1/i√3

φ(x)=log(t-α)(t-β)-1/i√3・log(t-α)/(t-β)+∫adt/(t-α)+∫bdt/(t-β)

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