変数変換の由来

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adz/(b^2-z^2)では

adz/(b^2-z^2)=a/2b{dz/(b-z)+dz/(b+z)}

=a/2b{-dlog(b-z)+dlog(b+z)}

=a/2b{dlog(b+z)/(b-z)}

ここで、t=(b+z)/(b-z),z=(t-1)b/(t+1)とおけば

adz/(b^2-z^2)=a/2b{dlogt}=adt/2bt

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adz/(b^2+z^2)の場合は、複素数を許容することにすれば

adz/(b^2+z^2)=a/2b{dz/(b-zi)+dz/(b+zi)}

=a/2bi{-dlog(b-zi)+dlog(b+zi)}

=a/2bi{dlog(b+zi)/(b-zi)}

ここで、t=(b+zi)/(b-zi)とおけば

adz/(b^2+z^2)=a/2bi{dlogt}=adt/2bti

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a=b=1の場合、 t=(1+zi)/(1-zi)と変数変換すれば

dz/(1+z^2)=dt/2ti

zが実直線上を(0→1)と移動するとき

tは複素単位円上を(1→i)まで推移する。

∫(0→1)dz/(1+z^2)=π/4=∫(1→i)dt/2ti

これより

logi=πi/2

単位円の面積が複素対数に帰着されるのである

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