【１】有理関数の積分

φ(x)=∫dx/(1+x^2)

1+x^2=1+(tanθ)^2

dx=dθ/(cosθ)^2

φ(x)=∫dx/(1+x^2)=∫dθ=θ+Ｃ＝arctanx+C

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∫(0,1)dx/(1+x^2)=∫dθ=θ＝arctanx|=π/4

∫(0,∞)dx/(1+x^2)=∫dθ=θ＝arctanx|=π/2

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ここでは

φ(x)=∫dx/(1+x^4)

を取り上げてみたい。

(1+x^4)=(x^2+2^1/2x+1）(x^2-2^1/2x+1）より

1/(1+x^4)=1/2^3/2・｛(x+2^1/2)/(x^2+2^1/2x+1)-(x-2^1/2)/(x^2-2^1/2x+1)}

=1/2^3/2・｛1/2・(2x+2^1/2)/(x^2+2^1/2x+1)-2^1/2/{(2^1/2x+1)^2+1}

-1/2^3/2・｛1/2・(2x-2^1/2)/(x^2-2^1/2x+1)-2^1/2/{(2^1/2x-1)^2+1}

したがって、

φ(x)=1/4√2・log(x^2+2^1/2x+1)/(x^2-2^1/2x+1)+1/4√2・{arctan(√2x+1)+arctan(√2x-1)}

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ここでは

φ(x)=∫dx/(1+x^3)

を取り上げてみたい。

(1+x^3)=(x+1)(x^2-x+1）より

1/(1+x^3)=1/3{1/(x+1)-(x-2)/(x^2-x+1)}

=1/3{1/(x+1)-(1/2(2x-1)-3/2)/(x^2-x+1)}

したがって、

φ(x)=1/3・log(x+1)-1/6・log(x^2-x+1)+1/2∫dx/(x^2-x+1)

∫dx/(x^2-x+1)=2/√3・arctan{(2x-1)/√3}

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ここでは

φ(x)=∫x^2dx/(1+x^4)

を取り上げてみたい。

φ(x)=1/4√2・log(x^2-2^1/2x+1)/(x^2+2^1/2x+1)+1/2√2・{arctan(√2x+1)+arctan(√2x-1)}

φ(x)=∫(0,∞)x^2dx/(1+x^4)=π/2√2

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ここでは

φ(x)=∫dx/(1+x^2+x^4)

(1+x^2+x^4)=(x^2+x+1）(x^2-x+1）より

φ(x)=1/4・log(x^2+x+1)/(x^2-x+1)+1/2√3・{arctan(2x+1)/√3+arctan(√2x-1)/√3}

φ(x)=∫(0,∞)dx/(1+x^2+x^4)=π/2√3

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