【２】無理関数の積分

φ(x)=∫(1-x^2)^1/2dx

Ψ(x)=∫(x^2-1)^1/2dx

はそれぞれ、円x^2+y^2=1,双曲線x^2-y^2=1に根ざしている。

ここで、x→ixと虚の変数変換すると、円は双曲線-x^2+y^2=1に変換される。

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前者において、(-1,0)を通り傾きｔの直線を考えると、交点は

1/(1+x^2)=1/2{1/(1-ix)+1/(1+ix)}

x=(1-t^2)/(1+t^2), y=2t/(1+t^2)となり、円のパラメータ表示が可能となる

t=y/(1+x)=(1-x^2)^1/2/(1+x)={(1-x)/(1+x)}^1/2

dx=-4tdt/(1+t^2)^2

(1-x^2)^1/2dx=-8t^2dt/(1+t^2)^3

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後者において、２本の漸近線y=x,y=-xのどちらかに平行な直線、例えば、y=-x+tと双曲線の交点を求めると

パラメータ表示:x=(1+t^2)/2t, y=(-1+t^2)/2tとなり

dx=(t^2-1)dt/2t^2

(x^2-1)^1/2dx=(t^2-1)^2dt/4t^3

に変換される。

変数変換t=x+y=x+(x^2-1)^1/2の由来がここに現れているのである。

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ここで、x→ixと虚の変数変換すると、円は双曲線-x^2+y^2=1に変換される。

そこではじめから、 複素漸近線y=-ix+tと円の交点を求めると

パラメータ表示:x=(t^2-1)/2it, y=(t^2+1)/2tとなり

dx=(t^2+1)dt/2it^2

(1-x^2)^1/2dx=(t^2+1)^2dt/4it^3

に変換される。

円と双曲線の区別は解消されることになる

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