２次元の正多角形はその辺数ｐで，３次元の正多面体は面の辺数ｐと各頂点に会する面の個数ｑをペアにしたシュレーフリ記号（ｐ，ｑ）で表されます．それと同様に，ｎ次元正多胞体ではシュレーフリ記号を一般化して，ｎ−１次元超平面（ｐ1，ｐ2，・・・，ｐn-2）が３次元低い構成要素上にｐn-1個ずつ会する，

　　（ｐ1，ｐ2，・・・，ｐn-2，ｐn-1）

で表現されます．

　たとえば，

　　ｎ次元正単体は（３，３，・・・，３，３），

　　双対立方体は（３，３，・・・，３，４），

　　超立方体は（４，３，・・・，３，３）

と表されます．これを逆順にした（ｐn-1，ｐn-2，・・・，ｐ1）で表される正多胞体が双対正多胞体です．ここで，

　　ｃk＝ｃｏｓ（π／ｐk）

とおきます．

　また，ｎ次元単位単体Δ＝ｏnｏn-1・・・ｏ1ｏ0を定め，１点から各面（超平面）までの距離を（ｘ0，ｘ1，・・・，ｘn）とします．（ｘ0，ｘ1，・・・，ｘn）は２次元の三線座標のｎ次元版です．

　すると，定数ｃ0，ｃ1，・・・，ｃnについて

　　ｃ0ｘ0＋ｃ1ｘ1＋・・・＋ｃnｘn＝１

が成立します．さらに，各面（超平面）の単位法線ベクトルをｅkとすると，ｎ＋１本のベクトル間には

　　ｃ0ｅ0＋ｃ1ｅ1＋・・・＋ｃnｅn＝０　　　（ゼロベクトル）

なる１次関係があります．

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

　ここで，基本行列

　　　　［０，ｃ1 ，０，・・・・・・・・・，０］

　　　　［ｃ1 ，０，ｃ2 ，０，・・・・・・，０］

　　Ｃ＝［０，ｃ2 ，０，ｃ3 ，０，・・・・，０］

　　　　［・・・・・・・・・・・・・・・・・・］

　　　　［０・・・・・・・・・・・，０，ｃn-1 ］

　　　　［０，・・・・・・・・・０，ｃn-1 ，０］

を作り，固有方程式

　　Ｐn（λ）＝ｄｅｔ｜λＩ−Ｃ｜＝０

からその固有ベクトル（１次変換によって同じ方向に写るベクトル）と固有値λ（その拡大率）を求めるのですが，これを解くとＣの固有ベクトルが基本単体の超平面に関する反転列Ｒ1・・・Ｒnによって不変なベクトルとなります．（頂点ｏkに対する超平面Πkに関する反転を便宜上番号をずらせてＲk+1としています．）

　また，三重対角行列となることから，漸化式

　　Ｐn+1（λ）＝λＰn（λ）−ｃn^2Ｐn-1（λ）

　　Ｐ1（λ）＝λ，Ｐ2（λ）＝λ^2−ｃ1^2

を得ることができます．

　空間充填形の固有値についてはλ＝±１となるのですが，正多面体については｜λ｜＜１で

　　λ＝ｃｏｓξ，ξはπと有理比

と書くことができます．その際，最大固有値が重要なのですが，最大固有値をとるξ（の最小値）はペトリー数ｈを用いてπ／ｈで表されます．

　　λmax＝ｃｏｓ（π／ｈ）

　ペトリー数とは，反転が何回でもとに戻るかという鏡像変換に関係した基本量で，基本単体の数をｇとすると，３次元正多面体では

　　ｇ／ｈ＝（ｈ＋２）＝２４／（１０−ｐ−ｑ）

４次元正多胞体の場合は

　　ｇ／ｈ＝６４／（１２−ｐ−２ｑ−ｒ＋４／ｐ＋ｑ／４）

で表されます．

　基本単体の超平面に関する反転列Ｒ1・・・Ｒnによって全周の１／ｈだけ回転するのですが，ｎが奇数ならばこれに反転が加わり，ｎが偶数ならば本来の回転となります．そして（Ｒ1・・・Ｒn）^(h/2)は中心に対する反転となるのです．

　なお，正ｎ角形にはｎ本の対称軸がありますが，正多面体の対称面の個数は？ｎ次元の正多胞体に対称超平面は合計何枚あるのか？という問題の答は，ｎを次元数，ｈをペトリー数として

　　ｍ＝ｎｈ／２

枚で与えられます．正多角形の対称軸の数ｍ＝２ｎ／２において，分子の２は平面の次元数と解釈できます．また，３次元正多面体の対称面はｍ＝３ｈ／２個ですが，３は次元数です．

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