【３】基本単体に関する反転によって生成される群

　結論を先にいってしまいましたが，とはいっても，これには大変な手間がかかります．その理由はｎ（≧４）次元図形になると計算に頼らざるをえず，例外型のルート系を漏れなく調べるのが大変になるからです．以下には考え方の基本になる一般論をいささか天下り的に与えておきます．

　ｎ次元空間の正多胞体とは「ｎ個の超平面に囲まれ，全体の中心ｏnから各頂点ｏ0，各辺の中点ｏ1，各面の中心ｏ2，・・・，各超辺の中心ｏn-2，各超平面の中心ｏn-1までの距離がそれぞれ相等しく，そのｍ次元成分はすべてｍ次元の正多胞体である」と定義されます．

　このとき，ｏnｏn-1・・・ｏ1ｏ0を結んだｎ次元単体を「基本単体」と呼びます．ｏ0ｏ1，ｏ1ｏ2，・・・，ｏn-1ｏnは互いに直交するので，ｎ次元正多胞体の諸量を計算するための基本となっています．基本単体は万華鏡のように隣同士が互いに鏡像形で，半分ずつが互いに合同です．

　基本単体の個数ｇは正多胞体にとって最も大切な基本量です．基本単体は隣同士が鏡像形であり，半分ずつが互いに合同であることより，３次元正多面体の基本単体の個数は

　　ｇ＝２ｐｆ＝２ｑｖ＝４ｅ

すなわち，正多面体の辺の個数ｅの４倍と等しくなります．この基本領域は超球面上，または，ユークリッド空間内の単体になるのですが，それに応じて有限群（正多面体）か離散無限群（空間充填形）になります．

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　ａを行ベクトル，ｘを列ベクトルとして

　　ａ＝（ａ1，・・・，ａn）

　　ｘ’＝（ｘ1，・・・，ｘn）

実数をｃとおくと，ｎ次元ユークリッド空間の超平面は，

　　ａｘ’＝ｃ

で表すことができます．原点を通るときｃ＝０です．

　ベクトルａを超平面の法線ベクトルと呼びます．法線ベクトルはスカラー倍を除いて一意に定まります．ａをその長さ‖ａ‖で割ったベクトルａ／‖ａ‖を考えると，これは長さ１の単位法線ベクトルとなります．

　また，ａが単位法線ベクトル，すなわち，

　　ａ1^2＋ａ2^2＋・・・＋ａn^2＝１

が成り立つとき，ｃは原点から超平面へ引いた垂線の（符号のついた）長さとなります．

　ｎ＝１なら方程式はａｘ＝ｂですから，超平面は点にほかなりません．ｎ＝２ならａｘ＋ｂｙ＝ｃとなり，超平面は直線，ｎ＝３ならａｘ＋ｂｙ＋ｃｚ＝ｄですから，超平面は平面を表します．３次元空間内の超平面が普通の平面だし，２次元空間内の超平面は直線ですから，ｎ次元空間の場合，ｎ−１次元の線形多様体を超平面というのです．

　超平面＜ａ，ｘ＞＝０に対するｂの反転像をｂ’とすると，ｂ−ｂ’はａに平行であり，

　　ｂ−ｂ’＝２＜ｂ，ａ＞／＜ａ，ａ＞

なる関係式が成立します．

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