素数をわたる無限積（オイラー積）

　　｛ａn｝＝Πｐ^2／（ｐ^2−１）＝４／３・９／８・２５／２４・４９／４８・・・

　＝Π１／（１−１／ｐ^2）＝π^2／６＝ζ（２）

が成り立つ．

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［証］無限等比級数に展開すると

　　Π１／（１−１／ｐ^2）＝Π（１＋１／ｐ^2＋１／ｐ^4＋・・・）

　右辺の無限和の無限積をみていかめしい感じがするが，ここでリーマンのゼータ関数を思い出せば

　　ζ（ｋ）＝Σ１／ｎ^k＝Π１／（１−１／ｐ^k）

したがって，すべての平方数の逆数１／ｎ^2にほかならず，各平方数はちょうど１回現れる．

　　Π１／（１−１／ｐ^2）＝Π（１＋１／ｐ^2＋１／ｐ^4＋・・・）

　＝Σ１／ｎ^2＝ζ（２）＝π^2／６

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　ついでながら，すべての素数をわたる無限積

　　Π（ｐ^2＋１）／（ｐ^2−１）＝５／３・１０／８・２６／２４・５０／４８・・・＝５／２

が成り立つ．

（証）

　　Π（ｐ^2＋１）／（ｐ^2−１）＝Π（ｐ^4−１）／（ｐ^2−１）^2＝Π（１−１／ｐ^4）／（１−１／ｐ^2）^2

　等比級数に展開すると

　　Π（１−１／ｐ^4）／（１−１／ｐ^2）^2＝Π（１＋１／ｐ^2＋１／ｐ^4＋・・・）^2／Π（１＋１／ｐ^4＋１／ｐ^8＋・・・）＝（Σ１／ｎ^2）^2／（Σ１／ｎ^4）

　　Σ１／ｎ^2＝ζ（２）＝π^2／６，Σ１／ｎ^4＝ζ（４）＝π^4／９０

より

　　Π（ｐ^2＋１）／（ｐ^2−１）＝ζ^2（２）／ζ（４）＝（π^4／３６）／（π^4／９０）＝５／２

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