素数をわたる無限積（オイラー積）

　　｛ａn｝＝Πｐ^2／（ｐ^2−１）＝４／３・９／８・２５／２４・４９／４８・・・

　＝Π１／（１−１／ｐ^2）＝π^2／６＝ζ（２）

が成り立つ．

　　Πｐ^2／（ｐ^2−１）＝Π１／（１−１／ｐ^2）

と書いたほうがわかりやすいかもしれない．これはオイラー積であって，

　ζ（２）＝１／１^2 ＋１／２^2 ＋１／３^s ＋１／４^2 ＋・・・＝π^2／６

に等しい．

　　Πｐ^2／（ｐ^2−１）＝ζ（２）＝π^2／６

　　Πｐ^4／（ｐ^4−１）＝ζ（４）＝π^4／９０

　　Πｐ^6／（ｐ^6−１）＝ζ（６）＝π^6／９４５

　　Πｐ^8／（ｐ^8−１）＝ζ（８）＝π^8／９４５０

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　ついでながら，すべての素数をわたる無限積

　　Π（ｐ^2＋１）／（ｐ^2−１）＝５／３・１０／８・２６／２４・５０／４８・・・＝５／２

<P />が成り立つ．

（証）

　　Π（ｐ^2＋１）／（ｐ^2−１）＝Π（ｐ^4−１）／（ｐ^2−１）^2＝Π（１−１／ｐ^4）／（１−１／ｐ^2）^2

　等比級数に展開すると

　　Π（１−１／ｐ^4）／（１−１／ｐ^2）^2＝Π（１＋１／ｐ^2＋１／ｐ^4＋・・・）^2／Π（１＋１／ｐ^4＋１／ｐ^8＋・・・）＝（Σ１／ｎ^2）^2／（Σ１／ｎ^4）

　　Σ１／ｎ^2＝ζ（２）＝π^2／６，Σ１／ｎ^4＝ζ（４）＝π^4／９０

より

　　Π（ｐ^2＋１）／（ｐ^2−１）＝ζ^2（２）／ζ（４）＝（π^4／３６）／（π^4／９０）＝５／２

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［まとめ］

　　Πｐ^2／（ｐ^2−１）＝ζ（２）＝π^2／６

　　Πｐ^4／（ｐ^4−１）＝ζ（４）＝π^4／９０

　　Π（ｐ^2＋１）／（ｐ^2−１）＝５／２

第３の等式は第１，２の等式から得られるというわけである．

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