【１】ウォリスの公式

　ウォリスは，円の面積と関係する積分

　　∫(0,1)（１−ｔ^2）^pｄｔ

において，ｐ＝−１／２，０，１／２，１，３／２，２，５／２，３，７／２，４に対する値をもとめ，

　　Ａ√（１５／１４）＜４／π＜Ａ√（１４／１３）

　　Ａ＝３・３・５・５・７・７・・・１３・１３／２・４・４・６・８・・・１２・１４

を示しています．

　ウォリスの公式は

　　４／π＝３・３・５・５・７・７・・・１３・１３・・・／２・４・４・６・８・・・１２・１４・・・

あるいは

　　π／２＝（２・２／１・３）（４・４／３・５）（６・６／５・７）・・・（２ｎ・２ｎ／（２ｎ−１）・（２ｎ＋１））・・・

と記すとわかりやすいですが，この公式の不思議なところは有理数の無限積→πになっている点です．

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【２】ニュートンの一般二項定理

　ニュートンはこれを一般化して

　　φ(p,x)＝∫(0,x)（１−ｔ^2）^pｄｔ

の補間を試みました．

　　φ(0,x)＝ｘ

　　φ(1,x)＝ｘ−ｘ^3／３

　　φ(2,x)＝ｘ−２ｘ^3／３＋ｘ^5／５

　　φ(3,x)＝ｘ−ｘ^3＋３ｘ^5／５−ｘ^7／７

　これらの係数をまとめると

　　ｘ→１，１，１，１，１・・・

　　−ｘ^3／３→０，１，２，３，・・・

　　ｘ^5／５→０，０，１，３，６，１０，１５，・・・（三角数ｐ（ｐ−１）／２）

　　−ｘ^7／７→０，０，０，１，４，・・・（ｐ（ｐ−１）（ｐ−２）／６）

　そして，ｐは分数のときもこの式で係数を計算します．そして，

　　（１＋ｘ）^p＝１＋ｐｘ＋（ｐ−１）／２・ｘ^2＋ｐ（ｐ−１）（ｐ−２）／６・ｘ^3＋・・・

　ｐ＝１／２を代入すると　

　　（１＋ｘ）^1/2＝１＋１／２・ｘ／２−１／８・ｘ^2＋１／１６・ｘ^3＋・・・

　　そして，２つの展開式を掛け合わせて

（１＋１／２・ｘ／２−１／８・ｘ^2＋１／１６・ｘ^3＋・・・）（１＋１／２・ｘ／２−１／８・ｘ^2＋１／１６・ｘ^3＋・・・）＝１＋ｘ

であることを確認したとのことです．

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【３】オイラーのベータ関数

　　∫(0,1)ｘ^m（１−ｘ）^nｄｘ

＝１・２・３・・・ｎ／（ｍ＋１）（ｍ＋２）・・・（ｍ＋ｎ＋１）

　　（ｍ＋ｎ＋１）∫(0,1)ｘ^m（１−ｘ）^nｄｘ

＝１・２・３・・・ｎ／（ｍ＋１）（ｍ＋２）・・・（ｍ＋ｎ）

　　ｍ＝２のとき，２／（ｎ＋１）（ｎ＋２）　　　（三角数の逆数）

ｍ，ｎが整数でないときには，一般二項係数のまま計算します．

　ベータ関数を一般化すると，

　　∫(a,b)(x-a)^m(b-x)^ndx=m!n!/(m+n+1)!(b-a)^(m+n+1)

が得られます．これらは受験参考書に必ず書いてある

　　∫(a,b)(x-a)(x-b)dx=-1/6(b-a)^3

　　∫(a,b)(x-a)(x-b)^2dx=1/12(b-a)^4

という公式の一般化になっています．

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【４】再びウォリスの公式

　　1/2B(1/2,(n+1)/2)=∫(0,π/2)(sinθ)^ndθ

この値をＳnとおくと，部分積分により漸化式

　　Ｓn=(n-1)/nＳn-2

が得られますから，

n=2k（偶数）なら1･3･･･(2k-1)/2･4･･･(2k)*π/2

n=2k+1（奇数）なら2･4･･･(2k)/1･3･･･(2k+1)

これより、

ｌｉｍ1･3･･･(2k-1)/2･4･･･(2k)*√(k)=1/√(π)

変形すると，ウォリスの公式

　　(2n)!/(2^nn!)^2√(n)=1/√(π)

が得られる．

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