【１】π／２に収束する分数列

　　｛ａn｝＝Π（２ｎ）^2／（２ｎ−１）（２ｎ＋１）

＝２／１・２／３・４／３・４／５・６／５・６／７・・・＝π／２

［証］ウォリスの公式（１６５６年）である．

（２・２／１・３）（４・４／３・５）（６・６／５・７）・・・（２ｎ・２ｎ／（２ｎ−１）・（２ｎ＋１））・・・

＝Π２ｎ／（２ｎ−１）・２ｎ／（２ｎ＋１）

＝Πｎ／（ｎ−１／２）・ｎ／（ｎ＋１／２）

＝Γ（１／２）Γ（３／２）／Γ（１）Γ（１）＝２Γ^2（３／２）

＝π／２

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【２】π^2／６に収束する分数列（その１）

　素数をわたる無限積（オイラー積）

　　｛ａn｝＝Πｐ^2／（ｐ^2−１）＝４／３・９／８・２５／２４・４９／４８・・・

　＝Π１／（１−１／ｐ^2）＝π^2／６＝ζ（２）

が成り立つ．

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［証］無限等比級数に展開すると

　　Π１／（１−１／ｐ^2）＝Π（１＋１／ｐ^2＋１／ｐ^4＋・・・）

　右辺の無限和の無限積をみていかめしい感じがするが，ここでリーマンのゼータ関数を思い出せば

　　ζ（ｋ）＝Σ１／ｎ^k＝Π１／（１−１／ｐ^k）

したがって，すべての平方数の逆数１／ｎ^2にほかならず，各平方数はちょうど１回現れる．

　　Π１／（１−１／ｐ^2）＝Π（１＋１／ｐ^2＋１／ｐ^4＋・・・）

　＝Σ１／ｎ^2＝ζ（２）＝π^2／６

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　ついでながら，すべての素数をわたる無限積

　　Π（ｐ^2＋１）／（ｐ^2−１）＝５／３・１０／８・２６／２４・５０／４８・・・＝５／２

が成り立つ．

（証）

>　　Π（ｐ^2＋１）／（ｐ^2−１）＝Π（ｐ^4−１）／（ｐ^2−１）^2＝Π（１−１／ｐ^4）／（１−１／ｐ^2）^2

　等比級数に展開すると

　　Π（１−１／ｐ^4）／（１−１／ｐ^2）^2＝Π（１＋１／ｐ^2＋１／ｐ^4＋・・・）^2／Π（１＋１／ｐ^4＋１／ｐ^8＋・・・）＝（Σ１／ｎ^2）^2／（Σ１／ｎ^4）

　　Σ１／ｎ^2＝ζ（２）＝π^2／６，Σ１／ｎ^4＝ζ（４）＝π^4／９０

より

>　　Π（ｐ^2＋１）／（ｐ^2−１）＝（π^4／３６）／（π^4／９０）＝５／２

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【３】π^2／６に収束する分数列（その２）

　　Π（ｎ^2／（ｎ^2−１）

＝（２・２／１・３）（３・３／２・４）（４・４／３・５）・・・（ｎ・ｎ／（ｎ−１）・（ｎ＋１））・・・>→２

　それでは，

［Ｑ］全素数にわたる積

　　（２・２／１・３）（３・３／２・４）（５・５／４・６）・・・（ｐ・ｐ／（ｐ−１）・（ｐ＋１））・・・

を求めよ．

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［Ａ］当該の式

　（２・２／１・３）（３・３／２・４）（５・５／４・６）・・・（ｐ・ｐ／（ｐ−１）・（ｐ＋１））・・・

は

　　Πｐ^2／（ｐ^2−１）＝Π１／（１−１／ｐ^2）

と書いたほうがわかりやすいかもしれない．これはオイラー積であって，

　ζ（２）＝１／１^2 ＋１／２^2 ＋１／３^s ＋１／４^2 ＋・・・＝π^2／６

に等しい．

　よって，

　　π^2／６＝（２・２／１・３）（３・３／２・４）（５・５／４・６）・・・（ｐ・ｐ／（ｐ−１）・（ｐ＋１））・・・

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