【３】無限乗積

　　Σ1/n!=e

　　Σ(-1)^n+1/(2n-1)=π/4 (Σ(-1)^n+1/n=log2)

　　Σ1/n^2＝π^2/6 (Σ1/n^4＝π^4/90)

などはπやｅが出現する無限級数である．それに対して，無限乗積にもπの現れるものがある．

　　Π(2n)^2/(2n-1)(2n+1)=π/2

　　Π(4n)^2/(4n-1)(4n+1)=π/4･√2

　これらの例は

　　［参］クロースン「数学の謎」青土社

から拝借したが，収束は遅いものの

　　(Πp)^1/n＝ｅ

もびっくり仰天させられる式である．

　無限級数Σａnに対応する無限乗積がΠ（１＋ａn）で，Π（１＋ａn）はΣａnが収束する場合に限り収束する．たとえば，

　　Π{1+(-1)^n+1/(2n-1)}=√2

　　Π{1-1/n^2}=1/2

　　Π{1-4/n^2}=1/6

　　Π{1+1/n^2}=sinh(π)/π≒3

　　Π{1+1/n^3}=cosh(π√3/2)/π≒2.428

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