［Ｑ］０＜（ｅ^π−π^e）＜１を示せ．

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［Ａ］　ｘ^y−ｙ^x＝０は２≦ｘ＜ｅ＜ｙ≦４について調べればよい．

　わかっていることをまとめると

［１］ｘ^y−ｙ^x＝１の整数解は（ｘ，ｙ）＝（３，２）だけである（３^2−２^3＝１）．すなわち，８と９だけが唯一連続するベキ乗数である．

［２］ｘ^y−ｙ^x＝０　　（０＜ｘ＜ｙ）

　　２≦ｘ＜ｅ＜ｙ≦４で，（ｘ，ｙ）がともに整数となるのは（ｘ，ｙ）＝（２，４）のみである（４^2−２^4＝０）．

［３］（ｘ，ｙ）＝（ｅ，ｅ），したがって，ｅ^e＝１５．１５４２・・・の周囲にｘ^y−ｙ^x＝０となる解が集積する．

［４］ｘ＝２〜３，ｙ＝３〜４にはｙ^x−ｘ^y＝１となる解が分布する．

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［５］Mathematicaによるグラフ表示

　阪本ひろむ氏が，x^y-y^xに関するグラフなどを描いてくれたので掲載する．

［１］ｘ^y−ｙ^xの等高線表示

［ａ］ｘ^y−ｙ^x＝０

［ｂ］ｘ^y−ｙ^x＝１

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