【１】三元数は存在しないことの証明（１）

　　（ａ1^2＋ａ2^2＋ａ3^2）（ｂ1^2＋ｂ2^2＋ｂ3^2）＝ｃ1^2＋ｃ2^2＋ｃ3^2

において，偶数の２乗は４ｎの形であり，奇数の２乗は

　　（２ｋ＋１）^2＝４ｋ（ｋ＋１）＋１＝８ｎ＋１

の形であるから，３つの２乗和はそれがすべて奇数であれば，４ｎ＋１か８ｎ＋３のいずれかの形をとる．

　したがって，８ｎ＋７という形の奇数は決して３つの２乗和にかけない．すなわち，３元数に対する平方和問題は破綻している．　

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【２】三元数は存在しないことの証明（２）

　三元数を

　　（ｘ，ｙ，ｚ）＝ｘ＋ｙｉ＋ｚｊ

で表す．

　　ｘ＝（ｘ，０，０），ｉ＝（０，１，０），ｊ＝（０，０，１）

　　ｉ^2＝−１＝（−１，０，０），ｊ^2＝−１＝（−１，０，０）

　ここで，

　　ｉｊ＝ｘ＋ｙｉ＋ｚｊ

とかけたと仮定する．この式に左からｉをかければ

　　ｚｘ−ｙ＋（ｘ＋ｙｚ）ｉ＋（ｚ^2＋１）ｊ＝０

が得られるが，ｚは実数であるので不可能．

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