【４】四元数

　アイルランドの数学者ハミルトンは４個の実数の組よるなる四元数（ｘ＋ｙｉ＋ｚｊ＋ｗｋ）を発明しました（１８４３年）．四元数は複素数に似ていますが，ただ１つではなく３つの虚数をもつ複素数を拡大した数体系で，

　　ｉ^2＝−１，ｊ^2＝−１，ｋ^2＝−１，ｉｊ＝ｋ，ｊｋ＝ｉ，ｋｉ＝ｊ，ｊｉ＝−ｋ，ｋｊ＝−ｉ，ｉｋ＝−ｊ

なる性質をもち，

　　（ｘ＋ｙｉ＋ｚｊ＋ｗｋ）（ｘ−ｙｉ−ｚｊ−ｗｋ）＝ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2＋ｗ^2

となります．四元数ではかけ算の交換法則は成り立ちません（ａｂ≠ｂａ）．

［１］四元整数（リプシッツの整数）

　ハミルトンの四元数

　　Ｈ＝ａ＋ｂｉ＋ｃｊ＋ｄｋ

において，ａ，ｂ，ｃ，ｄを整数に限った「四元整数」は４次元単純立方格子と同一視することができます．

　ハミルトンの四元整数環は乗法の交換法則が成り立たない非可換環ですが，４次元空間内の原点を中心とする半径√ｎの３次元球面上には必ず格子点があることを主張しているのが「ラグランジュの定理」であることは，このコラムでもこれまで何回か説明したとおりです．

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［２］フルヴィッツの整数とＤ4格子

　四元整数（リプシッツの整数）に

　　（１＋ｉ＋ｊ＋ｋ）／２

を追加した数の体系を「フルヴィッツの整数」と呼びます．ａ，ｂ，ｃ，ｄのすべてが整数か，あるいはすべてが半整数のとき，フルヴィッツの整数なのです．フルヴィッツの整数全体は整数座標点と半整数座標点からなりますので，４次元体心立方格子であるというわけです．

　なお，

　　（１＋ｉ＋ｊ＋ｋ）／２

は１の原始６乗根であり，

　　ζ＝ζ++++＝（１＋ｉ＋ｊ＋ｋ）／２

とおくと，

　　ζ^2＝ζ-+++，ζ^3＝−１，ζ^4＝ζ----，ζ^5＝ζ+---，ζ^6＝１

となります．

　フルヴィッツ単数すなわち１の約数は，

　　±１，±ｉ，±ｊ，±ｋ　　　８個

　　ζ±±±±のあらゆる符号の組合せ（±１±ｉ±ｊ±ｋ）／２をとった１６個

の計２４個あります．

　四元数ではかけ算の交換法則は成り立ちませんから，Ｐを２つのフルヴィッツ整数の積で表す方法は単数Ｕを右からかけるＰ＝Ｐ’Ｕ，単数Ｖを左からかけるＰ＝ＶＰ”の２通りあります．Ｐがフルヴィッツ素数のときの素因数分解はＵ，Ｖを２４個のフルヴィッツ単数上を動かしたときの

　　Ｐ＝ＰＵ^(-1)・Ｕ，Ｐ＝Ｖ・Ｖ^(-1)Ｐ

だけです．

　したがって，Ｑのフルヴィッツ素数への分解

　　Ｑ＝Ｐ0Ｐ1・・・Ｐk

があるとき，

　　Ｑ＝Ｐ0Ｕ1・Ｕ1^(-1)Ｐ1Ｕ2・・・Ｕk^(-1)Ｐk

も素因数分解となります．このような単数転移を除いて，フルヴィッツの整数においても素因数分解の一意性が成立します．それに対して，リプシッツ整数の分解は一意ではありません．

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