【１】Ｅ8格子

　コクセターは，８次元空間において２個の正軸体と１個の正単体を組み合わせると空間充填形ができ，ケイリー整数の作る格子がその具体形であることを証明した．

　原点と単位点，実数成分が１／２で他の３個がすべて＋１／２である原点の隣点７点，

（０，０，０，０，０，０，０，０）

（１，０，０，０，０，０，０，０）

（１／２，１／２，１／２，１／２，０，０，０，０）

（１／２，１／２，０，０，１／２，１／２，０，０）

（１／２，１／２，０，０，０，０，１／２，１／２）

（１／２，０，１／２，０，１／２，０，１／２，０）

（１／２，０，１／２，０，０，１／２，０，１／２）

（１／２，０，０，１／２，１／２，０，０，１／２）

（１／２，０，０，１／２，０，１／２，１／２，０）

合計９点は辺長が１の正単体をなす．

　他方，原点と全成分が１／２の点

（０，０，０，０，０，０，０，０）

（１／２，１／２，１／２，１／２，１／２，１／２，１／２，１／２）

を軸として，両者から等距離にある４成分が１／２，他の成分が０である１４点，

（１／２，１／２，１／２，１／２，０，０，０，０）

（１／２，１／２，０，０，１／２，１／２，０，０）

（１／２，１／２，０，０，０，０，１／２，１／２）

（１／２，０，１／２，０，１／２，０，１／２，０）

（１／２，０，１／２，０，０，１／２，０，１／２）

（１／２，０，０，１／２，１／２，０，０，１／２）

（１／２，０，０，１／２，０，１／２，１／２，０）

とその反転

（０，０，０，０，１／２，１／２，１／２，１／２）

（０，０，１／２，１／２，０，０，１／２，１／２）

（０，０，１／２，１／２，１／２，１／２，０，０）

（０，１／２，０，１／２，０，１／２，０，１／２）

（０，１／２，０，１／２，１／２，０，１／２，０）

（０，１／２，１／２，０，０，１／２，１／２，０）

（０，１／２，１／２，０，１／２，０，０，１／２）

合計１６点が辺長１の正軸体を作り，隙間なく全空間を覆うのである．

　正軸体，正単体のうち，頂点から最も遠い点はその中心

（１／４，１／４，１／４，１／４，１／４，１／４，１／４，１／４）

（１／２，１／６，１／６，１／６，１／６，１／６，１／６，１／６，１／６）　

であり，その距離はそれぞれ１／√２，２／３である．

　Ｅ8格子の構成法は他にもあり，たとえば，面心立方格子状に単位球を置いた場合の１１２個の接触点

1/√2（０，・・・，±１，０，・・・，±１，０・・・）　　　（±１の個数は２つ）と１２８個の隙間の点

1/√8（±１，±１，±１，±１，±１，±１，±１，±１）　　　（＋の個数は偶数）

とは直交変換で互いに移りあう．そして，原点においた半径１／２の球に，同じ半径の球を原点の隣点におけば２４０個の球が接するようにできる．８次元空間における球の接触数は２４０であり，その配列は本質的にこの形しかないのである．

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　この充填形で，正軸体の１つおきの胞に正単体が続き，他の半分の胞は正軸体同士が接する．格子点として１つの格子点を中心にその隣（距離１）の２４０個の頂点を結んでできる８次元の「亜正多面体」は次のような構造をしている．

　　頂点２４０個，辺６７２０（２４０×２８）本

　　面（正三角形）６０４８０（６７２０×９）枚

　　３次元胞（正四面体）２４１９２０（６０４８０×４）個

　　４次元胞（正五胞体）２４１９２０（６０４８０×４）個

　　５次元胞（正単体）４８３８４０個

　　６次元胞（正単体）２０７３６０個

　　　　　＝４８３８４０×３／７＝２４０×８６４

　　　　　＝（１７２８０×８＋２１６０×２^7）／２

　　７次元胞：各６次元胞に正軸体２個と正単体１個が合わさり

　　　　　　　正単体が１７２８０個，正軸体が２１６０個

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【２】正単体と正軸体の体積からの検討

　８次元正単体の体積３／２^4８！

　８次元正軸体の体積２^4／８！

　正単体の部分は１７２８０×３／２^4８！

　正軸体はその半分の錘体になり，その部分は２１６０×２^7／２^4８！

　このことから正軸体の占める部分が大半で，正単体が隙間を埋めている印象である．この充填形の一部から超立方体を構成するには無理があるということだろう．

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