ハミルトンの有名な四元数は複素数の拡張ですが，さらに，イギリスの数学者ケイリーによって８個の基底元１，ｉ，ｊ，ｋ，ｌ，ｍ，ｎ，ｏをもつ代数＜八元数＞も発明されました（１８４５年）．

　　ｉ^2＝ｊ^2＝ｋ^2＝ｌ^2＝ｍ^2＝ｎ^2＝ｏ^2＝−１，

　　ｉ＝ｊｋ＝ｌｍ＝ｏｎ＝−ｋｊ＝−ｍｌ＝−ｎｏ，

　　ｊ＝ｋｉ＝ｌｎ＝ｍｏ＝−ｉｋ＝−ｎｌ＝−ｏｍ，

　　ｋ＝ｉｊ＝ｌｏ＝ｎｍ＝−ｊｉ＝−ｏｌ＝−ｍｎ，

　　ｌ＝ｍｉ＝ｎｊ＝ｏｋ＝−ｉｍ＝−ｊｎ＝−ｋｏ，

　　ｍ＝ｉｌ＝ｏｊ＝ｋｎ＝−ｌｉ＝−ｊｏ＝−ｎｋ，

　　ｎ＝ｊｌ＝ｉｏ＝ｍｋ＝−ｌｊ＝−ｏｉ＝−ｋｍ，

　　ｏ＝ｎｉ＝ｊｍ＝ｋｌ＝−ｉｎ＝−ｍｊ＝−ｌｋ

　ハミルトンの四元数は乗法の交換法則を満たさない非可換体（斜体）

　　ａｂ≠ｂａ

ですが，八元数ではさらに乗法の結合法則も破れています．

　　ａ（ｂｃ）≠（ａｂ）ｃ

しばしば「ケイリー数体」と呼ばれますが，厳密にいうと体ではなく「体もどき」ということになります．さらに，１６個の基底元をもつ同様の代数を構成しようと試みられましたが，それは成功するはずはありませんでした．

　八元数は，実数単位ｅ0と７個の虚数単位ｅi(i=1~7)による一次結合Σａjｅjで表されますが，

　　ｅ0ｅi＝ｅiｅ0＝ｅi，ｅi^2＝−１，ｅiｅj＝−ｅjｅi

はよいとしても，

　　ｅiｅj＝＋ｅk・・・交換則

　　ｅiｅj＝−ｅk・・・反交換則

の組合せは様々です．

　また，結合法則に関しても

　　（ｅiｅj)ｅk＝＋ｅi（ｅjｅk）・・・結合則

　　（ｅiｅj)ｅk＝−ｅi（ｅjｅk）・・・反結合則

の２つの場合があります．

　　（ｅiｅj)ｅk＝＋ｅi（ｅjｅk）・・・結合則

は（ｉ，ｊ，ｋ）のなかに０（実数）が含まれるときと同一の番号があるときには常に成立しますが，（ｉ，ｊ，ｋ）が１〜７のうちですべて異なるときは必ずしも成り立ちません．

　そこで，（ｉ，ｊ，ｋ）＝（１，２，３），（１，４，５），（１，６，７），（２，４，６），（２，５，７），（３，４，７），（３，５，６）の場合に結合則を満たすものと決めます．この７組は３ビットの２進数で表し，各々のビットの排他的論理和をとると０になるので便利です．

　　（１，２，３）＝（001，010，011）＝０

　　（１，４，５）＝（001，100，101）＝０

　　（１，６，７）＝（001，110，111）＝０

　　（２，４，６）＝（010，100，110）＝０

　　（２，５，７）＝（010，101，111）＝０

　　（３，４，７）＝（011，100，111）＝０

　　（３，５，６）＝（011，101，110）＝０

［補］最も簡単な射影平面は，有限体Ｚ2上の２次元射影幾何であって，ファノ平面と呼ばれています．そして，７個の点ｐ1〜ｐ7を（１〜７）と略記することにして，例えば，７本の直線上の３点の組を（１，２，３），（１，４，５），（１，６，７），（２，４，６），（２，５，７），（３，４，７），（３，５，６）の７組の体系は射影幾何の公理系を満たすことになります．

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［２］ケイリー整数とＥ8格子

　八元数Σａjｅjにおいて，係数ａj(j=0~7)が

　　1)整数値をとるもの

をグレーブス整数と呼びます．さらに

　　2)半整数値の奇数倍をとるもの

　　3)４個が整数値，４個が半整数値の奇数倍をとるもの

を加えて，「ケイリーの（八元）整数」と呼びます．

　半整数値をとる座標は０個か４個か８個です．ただし，3)において整数である番号は（ｉ，ｊ，ｋ）７組に０（実数）を加えた集合および（０〜７）に対するその補集合の１４組に限ります．

　このような点をすべてとると，８次元空間内で隣り合う２点間の距離がすべて１の格子ができあがります．原点に隣接する点は２４０個あり，それらと原点を結ぶベクトルが例外型リー環のＥ8ルート系を表すので，この格子をＥ8格子といいます．

　Ｅ8格子にはほかにもいくつかの構成法があり，ここではケイリー整数との関連で説明しましたが，その配列は本質的にはこの形しかありません．Ｓ^7の上の２４０個の点は直交変換で互いに移りうる点の組を同じものとみなすと一意なのです．

　そして，８次元空間において，２個の正軸体（正８面体の拡張）と１個の正単体（正４面体の拡張）を組み合わせると空間充填形ができるのですが，ケイリー整数の作る格子がその具体形になっていて，Ｅ8はＡ8とＤ8両方を含んでいるというわけです．

　ケイリーの整数の素因数分解では，フルヴィッツ整数のように単数転移だけでは一意的ではなく，結合法則の欠如も考慮しなければなりません．ＰＵ・Ｕ1^(-1)ＱがＰＱに等しいとは限らないのです．しかしながら，たとえば，Ｐ1（（Ｐ2Ｐ3）Ｐ4）と（Ｐ1Ｐ2）（Ｐ3Ｐ4）の間の関係づけの正当化（メタ転移）を要求することによって一意的にできるのです．

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