f(x)=a0+a1x+・・・+anx^n,［ai］＜Z

既約分数r/sがf(x)の根ならばa0はrで割り切れる、anはsで割り切れる

an=1ならば、有理根は整数になる。

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f(x)=x^3+2x+1はQ上既約であるか？

f(r/s)=0

1はrで割り切れる、1はsで割り切れる

r/s=1または-1

f(1)=4,f(-1)=-2・・・矛盾→Q上既約

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f(x)=x^4-x-1はQ上既約であるか？

f(1)=-1,f(-1)=1・・・１次式x３次式の分解はない

f(x)=(x^2+ax+b)(x^-ax+c),a,b,c＜Z

f(x)=x^4+(b+c-a^2)x^2+a(c-b)x+bc

(b+c-a^2)=0

a(c-b)=1

bc=-1→(b,c)=(1,-1),(b,c)=(-1,1)

a(c-b)=+/-2a=1・・・矛盾→Q上既約

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f(x)=x^4+x^2-1はQ上既約であるか？

f(1)=1,f(-1)=-1・・・１次式x３次式の分解はない

f(x)=(x^2+ax+b)(x^-ax+c),a,b,c＜Z

f(x)=x^4+(b+c-a^2)x^2+a(c-b)x+bc

(b+c-a^2)=1

a(c-b)=0

bc=-1→(b,c)=(1,-1),(b,c)=(-1,1)

a(c-b)=+/-2a=-1・・・矛盾→Q上既約

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f(x)=x^4-6x^2+11はQ上既約であるか？

11はrで割り切れる、1はsで割り切れる

・・・１次式x３次式の分解はない

f(x)=(x^2+ax+b)(x^-ax+c),a,b,c＜Z

f(x)=x^4+(b+c-a^2)x^2+a(c-b)x+bc

(b+c-a^2)=-6

a(c-b)=0・・・a=0とすると矛盾

bc=11→(b,c)=+/-(1,11),+/-(b,c)=(11,1)

a=0・・・矛盾→Q上既約

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f(x)=x^4+6x^2+8x+9はQ上既約であるか？

9はrで割り切れる、1はsで割り切れる

・・・１次式x３次式の分解はない

f(x)=(x^2+ax+b)(x^-ax+c),a,b,c＜Z

f(x)=x^4+(b+c-a^2)x^2+a(c-b)x+bc

(b+c-a^2)=6

a(c-b)=8

bc=9→(b,c)=(1,9),(b,c)=(3,3)

(b,c)=(1,9)→a=0・・・矛盾→Q上既約

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