【１】２^m元ガロア体の原始多項式

ｍ＝４の場合はπ(x)=1+x+x^4を用いたが、

ｍ＝２の場合、π(x)=1+x+x^2

ｍ＝３の場合、π(x)=1+x+x^3

ｍ＝４の場合、π(x)=1+x+x^4

ｍ＝５の場合、π(x)=1+x^2+x^5

ｍ＝６の場合、π(x)=1+x+x^6

を用いることによって実現される。

1+x+x^5はGF(2)上で既約ではなく、(1+x^2+x^3)(1+x+x^2)と因数分解される

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F5から拡大体1257を作る。

2次の可約多項式は

(x+0)(x+0)

(x+0)(x+1)

・・・・・・・・

(x+0)(x+4)

(x+1)(x+1)

(x+1)(x+2)

(・・・・・・・

ここに現れないのが2次の既約多項式である

途中を略すが

(x+1)(x^2+4x+1)=x^3+1

(x+1)(x^2+4x+2)=x^3+x+2 ・・・・・・・・・・・・・・

(x+4)(x^2+x+3)=x^3+2x+2

(x+4)(x^2+x+4)=x^3+3x+1

ここに現れないのが3次の既約多項式である.

π(x)=3+4x+x^3＝0の解をαとすると、125個の元からなる集合｛{0,1=α^0、α^1、α^2、・・・α^124｝は有限体F125となる。

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