7つの要素をもつ有限体F7={0,1,2,3,4,5,6}を考えてみよう。

7の倍数となる差を無視する。3=10=-4,-1=6

5+4=2

3-6=4

2・4=1

しかし、除算はどうなるのだろうか？

たとえば、1/2=?

２倍して１になる数は何か？

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1/ｎ＝ｎ^5

である。したがって、1/2＝2^5＝32＝4

1/4＝2，3/2＝3・4＝5であることがわかる。

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同様に

1/3=3^5=5

1/5=3

1/6=6^5=6=-1・・・6はそれ自身の逆数である

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元{0,1,2}からなるガロア体GF(3)では加算、減算、乗数、0を除く除算が定義され、

交換法則、分配法則、結合法則にしたがう。

1+2=0,1-2=2,2・2=1,1/2=2

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f(x)=x^3-2x-a,a＜Z7はaがどのような場合に既約になるか？

f(0)=-a・・・aは0ではない

f(1)=-1-a・・・aは6ではない

f(2)=4-a・・・aは4はない

f(3)=21-a=-a・・・aは0ではない

f(4)=56-a=-a・・・aは0ではない

f(5)=115-a=3-a・・・aは3ではない

f(6)=204-a=1-a・・・aは1ではない

a=2,5

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