１６個の白と黒の真珠だけで、隣接する4つの真珠の白黒の組み合わせがすべて異なるネックレスを作ることができるだろうか？

そのような組み合わせは４^2=１６通り存在するから、このネックレスは少なくとも16個の真珠をもたなければならないが、それは実際に可能だろうか？

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１６個の真珠をデザインするためにｘ^15＋１の次数4の原始因数が必要になる。

T^4+T+1,T^4+T^3+1はF2(T)の原始多項式

T^4+T^3+T^2+T+1は既約多項式であるが、原始多項式ではない

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その因数はｘ^4＋ｘ^3＋１であり、これから漸化式

an+1=an+3+1が得られる。

初期条件a1=a2=a3=a4=1を用いると、漸化式から周期15の2項数列が得られる。

１１１１０１０１１００１０００；１１１・・・

周期の終わりを示すセミコロンに０を付加することによって

１１１１０１０１１００１００００

に修正することができる．

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　このように１６個の０と１からなる周回配列はド・ブリュインのサイクルと呼ばれる．

１１１１０１０１１００１００００を反転させた

００００１０１００１１０１１１１

または

００００１００１１０１０１１１１も１６通りすべての配列を作り出す．

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　それでは４色のネックレス：

［Ｑ］４つの異なる色（赤青黄緑）の真珠，計１６個の組み合わせからなるネックレスで，隣接する２つの真珠の色の組み合わせがすべて異なるものを作ることができるだろうか？

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［Ａ］円周に沿って廻りながら，４色のうちから２色を選んだ対を｛赤，青｝，｛青，黄｝のように隣り合う２つの記号が作る１６通りの可能な配列が出てくるように塗ることができる．

２色の代わりにＧＦ(4)上の多項式による設計に基づけば4つの異なる色からなるネックレスを作ることができるのである。

16個の真珠のネックレスは多くて4色の可能なすべての対をもつことができる

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