【２】３次曲線の射影変換

　３次曲線は，射影変換を用いれば次のいずれかに変換されます．

　　(1)ｙ^2＝ｘ^3

　　(2)ｙ^2＝ｘ^2（ｘ−１）

　　(3)ｙ^2＝ｘ（ｘ−１）（ｘ−λ）　　λ≠０，１

　(1)は「く」の字型曲線で原点で尖点をもちます．(2)は「の」の字型曲線で原点を通ったところでループを描いて自分自身と交差しますから，原点が２重点となります．(3)はループと弓形曲線の２つに分離します．すなわち，(1)(2)は特異点をもち，(3)は非特異です．したがって，滑らかな非特異３次曲線は(3)の形に表せます．これらは特異点による分類といってもよいのですが，射影変換によって互いに写り合う３次曲線は同型とみなされます．

（証）３次曲線とはｆ（ｘ，ｙ）＝０が２変数ｘ，ｙの３次あるいは３次以下の方程式で与えられた曲線

　　ａ1ｘ^3＋ａ2ｙ^3＋ａ3ｘｙ^2＋ａ4ｘ^2ｙ＋ａ5ｘ^2＋ａ6ｙ^2＋ａ7ｘｙ＋ａｘ8＋ａ9ｙ＋ａ10＝０

で，一般式の項数は１０になります．

　３次以上の曲線を実数の範囲で考察するのは大変厄介であり，ｘ，ｙを複素数で考察すると理論が単純化されます．そこで，変数を複素数の範囲で考えると，Ｃ上７個の関数１，ｆ，ｇ，ｆ^2，ｆｇ，ｆ^3，ｇ^2は１次従属ですから，ある複素数の組（ａ0，・・・，ａ6）が存在して，

　　ａ0ｇ^2＋ａ1ｆ^3＋ａ2ｆｇ＋ａ3ｆ^2＋ａ4ｇ＋ａ5ｆ＋ａ6＝０

を満たします．ここで，ａ0＝１としてよく，楕円曲線はＣ^2上の３次曲線

　　ｙ^2＋ａ2ｘｙ＋ａ4ｙ＝−ａ1ｘ^3−ａ3ｘ2−ａ5ｘ−ａ6

の射影化と同型です．

　これをもう少し簡単な形に変形すると

　　ｙ^2＋ａ2ｘｙ＋ａ4ｙ＝（ｙ＋ａ2ｘ／２＋ａ4／２）^2−ａ2^2ｘ^2／４−ａ2ａ4ｘ／２−ａ4^2／４

　　ｙ1＝ｙ＋ａ2ｘ／２＋ａ4／２ｘ，ｘ1＝ｘ3√（−ａ1）

と１次変換すれば

　　ｙ1^2＝ｘ1^3＋ｂ1ｘ1^2＋ｂ2ｘ1＋ｂ3＝（ｘ1−α1）（ｘ2−α2）（ｘ3−α3）

　ここで，Ｃ上の２点α1，α2を０，１に変換する１次変換とｙ1の定数倍により，ｙ^2＝ｘ（ｘ−１）（ｘ−λ）という形に変形できます．

　　［参］安藤哲哉「代数曲線・代数曲面入門」数学書房

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