３次方程式ｆ（ｘ）＝ｘ^3＋ｂｘ＋ｃ＝０のひとつの根をαで表す．

　　ｘ^3＋ｂｘ＋ｃ＝（ｘ−α）（ｘ^2＋αｘ＋α^2＋ｂ）

より，他の２根は

　　−α／２±（−（３α^2＋４ｂ）^1/2／２

となる．

　また，最小分解体は

　　Ｑ（α，β）＝Ｑ（β，γ）＝＝Ｑ（γ，α）＝Ｑ（α，Ｄ（ｆ））

となり，３次方程式の構造とその最小分解体が明確に対応していることがわかる．

　ところで，ｊ-不変量は３次曲線の構造を与えるひとつの例であり，射影変換によって互いに写り合う３次曲線は同型とみなされるのである．

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【１】群の例

　群とは集合に演算を入れたものです．６つの有理関数

　　ｆ1(x)=ｘ，ｆ2(x)=１−ｘ，ｆ3(x)=１／ｘ，ｆ4(x)=１／（１−ｘ），

　　ｆ5(x)=（ｘ−１）／ｘ，ｆ6(x)=ｘ／（ｘ−１）

を考えます（ｘ≠０，１）．２つの関数の合成，たとえば，

　　ｆ2・ｆ3(x)=ｆ2（ｆ3(x)）=１−１／ｘ=（ｘ−１）／ｘ=ｆ5(x)

ですから，ｆ2・ｆ3＝ｆ5とします．

　すると，この６つの関数は群となります．

　　　 　｜　ｆ1　　ｆ2　　ｆ3　　ｆ4　　ｆ5　　ｆ6

　　−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

　　ｆ1　｜　ｆ1　　ｆ2　　ｆ3　　ｆ4　　ｆ5　　ｆ6

　　ｆ2　｜　ｆ2　　ｆ1　　ｆ5　　ｆ6　　ｆ3　　ｆ4

　　ｆ3　｜　ｆ3　　ｆ4　　ｆ1　　ｆ2　　ｆ6　　ｆ5

　　ｆ4　｜　ｆ4　　ｆ3　　ｆ6　　ｆ5　　ｆ1　　ｆ2

　　ｆ5　｜　ｆ5　　ｆ6　　ｆ2　　ｆ1　　ｆ4　　ｆ3

　　ｆ6　｜　ｆ6　　ｆ5　　ｆ4　　ｆ3　　ｆ2　　ｆ1

　なお，位数がｎの有限体はｎが素数と素数の累乗の場合だけに限られます．すなわち，位数が２，４，８，１６，３２，・・・の有限体，３，９，２７，８１，２４３，・・・の有限体はあるのですが，６や１５の有限体はないのです．

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